Calculadora de Aproximación Normal

Aproxima probabilidades binomiales usando la distribución normal.

Ingresa el número de ensayos, probabilidad de éxito y número de éxitos para calcular la probabilidad binomial usando aproximación normal. Esta herramienta es ideal para tamaños de muestra grandes donde el cálculo binomial directo es engorroso.

Ejemplos

Ve cómo usar la calculadora con escenarios del mundo real.

Lanzamientos de Moneda Justa

Lanzamientos de Moneda

Calcula la probabilidad de obtener exactamente 55 caras al lanzar una moneda justa 100 veces.

n: 100, p: 0.5

x: 55

tipo: P(X = x)

Productos Defectuosos

Control de Calidad

Una fábrica produce bombillas con una tasa de defectos del 3%. En un lote de 500, ¿cuál es la probabilidad de que 20 o menos bombillas sean defectuosas?

n: 500, p: 0.03

x: 20

tipo: P(X ≤ x)

Apoyo de Votantes

Encuestas Electorales

En una elección, un candidato tiene 52% de apoyo. ¿Cuál es la probabilidad de que en una encuesta de 1000 votantes, más de 540 apoyen al candidato?

n: 1000, p: 0.52

x: 540

tipo: P(X > x)

Aprobar un Examen

Puntuaciones de Examen

En un examen de opción múltiple de 120 preguntas (4 opciones por pregunta), un estudiante adivina en cada pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de obtener entre 25 y 35 preguntas correctas?

n: 120, p: 0.25

x: 25, x₂: 35

tipo: P(x ≤ X ≤ x₂)

Otros Títulos
Entendiendo la Calculadora de Aproximación Normal: Una Guía Completa
Aprende la teoría y aplicación de aproximar probabilidades binomiales con la distribución normal.

¿Qué es la Aproximación Normal a la Distribución Binomial?

  • Conectando Mundos Discretos y Continuos
  • El Principio Fundamental
  • ¿Cuándo es Apropiada la Aproximación?
La aproximación normal a la distribución binomial es un método estadístico utilizado para simplificar el cálculo de probabilidades para un gran número de ensayos. La distribución binomial es discreta, lo que significa que trata con un número contable de resultados (por ejemplo, 5 caras en 10 lanzamientos de moneda). En contraste, la distribución normal es continua. Cuando el número de ensayos 'n' es grande, calcular probabilidades binomiales directamente puede ser computacionalmente intensivo. La distribución normal proporciona una excelente y mucho más simple forma de estimar estas probabilidades.
El Principio Fundamental
La idea central es que a medida que el número de ensayos (n) en un experimento binomial aumenta, la forma de la distribución binomial comienza a parecerse a la curva de campana de una distribución normal. Esto nos permite usar las propiedades de la distribución normal (como media, desviación estándar y puntuaciones Z) para encontrar probabilidades aproximadas para eventos binomiales.
¿Cuándo es Apropiada la Aproximación?
Esta aproximación no siempre es válida. Una regla general común es que la aproximación es razonablemente precisa si tanto 'np' como 'n(1-p)' son mayores o iguales a 5 (algunos estadísticos prefieren 10 para mayor precisión). Aquí 'n' es el número de ensayos y 'p' es la probabilidad de éxito. Si esta condición no se cumple, la distribución binomial puede estar demasiado sesgada, y la aproximación normal no será precisa.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora

  • Ingresando Tus Datos
  • Eligiendo el Tipo Correcto de Probabilidad
  • Interpretando los Resultados
Nuestra calculadora simplifica el proceso en unos pocos pasos fáciles.
Ingresando Tus Datos
  1. Número de Ensayos (n): Ingresa el número total de veces que se realiza el experimento.
  2. Probabilidad de Éxito (p): Ingresa la probabilidad de un solo 'éxito' como decimal.
  3. Número de Éxitos (x): Ingresa el número de éxitos que te interesan.
Eligiendo el Tipo Correcto de Probabilidad
Usa el menú desplegable para seleccionar la probabilidad que deseas encontrar: menor que (<), menor o igual a (≤), exactamente igual a (=), mayor que (>), mayor o igual a (≥), o entre dos valores.
Interpretando los Resultados
La calculadora proporciona la probabilidad estimada, junto con la media (μ), desviación estándar (σ) y la puntuación Z. También te dice si la aproximación se considera válida basándose en la regla np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5.

Conceptos Erróneos Comunes y el Factor de Corrección de Continuidad

  • Valores Discretos vs. Continuos
  • ¿Por qué se Necesita la Corrección?
  • Cómo se Aplica la Corrección
Una fuente clave de error en la aproximación normal es olvidar el factor de corrección de continuidad.
Valores Discretos vs. Continuos
Una variable binomial solo puede ser un entero (no puedes tener 2.5 caras), pero una variable normal puede ser cualquier número real. Cuando superponemos una curva continua en un histograma discreto, creamos pequeños espacios. Por ejemplo, la probabilidad binomial P(X=10) está representada por una barra centrada en 10. Para capturar esta área con una curva continua, debemos medir el área desde 9.5 hasta 10.5.
¿Por qué se Necesita la Corrección?
El factor de corrección de continuidad de 0.5 se suma o resta del valor 'x' para incluir o excluir mejor el área del valor entero discreto. Conecta la brecha entre el cálculo binomial discreto y la estimación normal continua, llevando a un resultado más preciso.
Cómo se Aplica la Corrección
  • Para P(X ≤ k), usamos k + 0.5.
  • Para P(X < k), usamos k - 0.5.
  • Para P(X ≥ k), usamos k - 0.5.
  • Para P(X > k), usamos k + 0.5.
  • Para P(X = k), calculamos la probabilidad entre k - 0.5 y k + 0.5.

Aplicaciones del Mundo Real de la Aproximación Normal

  • Manufactura y Control de Calidad
  • Investigación Médica y Biológica
  • Ciencias Sociales y Encuestas
Manufactura y Control de Calidad
Una empresa produce miles de widgets diariamente y conoce la tasa de defectos histórica. Pueden usar la aproximación normal para estimar rápidamente la probabilidad de tener más de un cierto número de defectos en un lote grande, ayudándoles a decidir si el lote necesita inspección adicional.
Investigación Médica y Biológica
Los investigadores que prueban un nuevo medicamento en una población grande pueden estimar la probabilidad de que el número de pacientes que muestran efectos positivos caiga dentro de un cierto rango, ayudando a determinar la eficacia del medicamento comparado con un placebo.
Ciencias Sociales y Encuestas
Los encuestadores políticos encuestan a un gran número de votantes para medir el apoyo a un candidato. La aproximación normal les ayuda a determinar la probabilidad de que el verdadero apoyo de la población esté dentro de un cierto margen de sus resultados de encuesta, proporcionando una medida de la precisión de la encuesta.

Derivación Matemática y Fórmulas

  • Calculando la Media y Desviación Estándar
  • La Transformación de Puntuación Z
  • Encontrando Probabilidad desde una Puntuación Z
La magia de la aproximación yace en estas fórmulas clave.
Calculando la Media y Desviación Estándar

Para una distribución binomial, la media y desviación estándar, que serán usadas como parámetros para nuestra distribución normal aproximada, se calculan como:

  • Media (μ) = n * p
  • Desviación Estándar (σ) = √[n p (1 - p)]
La Transformación de Puntuación Z

La puntuación Z estandariza nuestro resultado, diciéndonos cuántas desviaciones estándar nuestro valor (con corrección de continuidad) está de la media. La fórmula es: Z = (x' - μ) / σ donde x' es el valor de x después de aplicar la corrección de continuidad.

Encontrando Probabilidad desde una Puntuación Z
Una vez que se calcula la puntuación Z, se usa con una tabla de distribución normal estándar (o una función computacional) para encontrar la probabilidad acumulativa. Por ejemplo, para P(X ≤ k), encontramos la probabilidad acumulativa hasta la puntuación Z calculada. Para P(X > k), calculamos 1 menos la probabilidad acumulativa.

Ejemplo de Cálculo

  • Encontremos P(X > 22) para una distribución binomial con n=100 y p=0.2.
  • 1. Verificar validez: np = 20, n(1-p) = 80. Ambos son ≥ 5. Válido.
  • 2. Calcular μ y σ: μ = 20, σ = √(100 * 0.2 * 0.8) = √16 = 4.
  • 3. Aplicar corrección de continuidad para P(X > 22) -> P(X ≥ 23), así usamos x' = 22.5.
  • 4. Calcular puntuación Z: Z = (22.5 - 20) / 4 = 2.5 / 4 = 0.625.
  • 5. Encontrar probabilidad: P(Z > 0.625) ≈ 1 - 0.734 = 0.266 o 26.6%.