Calculadora de Distribución Beta

Distribuciones y Modelos Estadísticos

Introduce los parámetros de forma (α y β) para calcular las propiedades de la distribución Beta.

Ejemplos

Haz clic en un ejemplo para cargar sus datos en la calculadora.

Distribución Asimétrica a la Derecha

unimodal

Un escenario común en análisis bayesiano donde los éxitos (α) son menos frecuentes que los fracasos (β), empujando el pico hacia 0.

α: 2, β: 5, x: 0.25

Distribución Asimétrica a la Izquierda

unimodal

Representa un escenario donde los éxitos (α) son más frecuentes que los fracasos (β), acercando el pico de la distribución hacia 1.

α: 5, β: 2, x: 0.75

Distribución Parabólica Simétrica

symmetric

Cuando α y β son iguales y mayores que 1, la distribución es simétrica y en forma de campana, centrada en 0.5.

α: 2, β: 2, x: 0.5

Distribución en Forma de U

bimodal

Cuando α y β son menores que 1, la distribución tiene forma de U, indicando que los resultados son más probables cerca de 0 o 1.

α: 0.5, β: 0.5, x: 0.5

Otros Títulos
Entendiendo la Distribución Beta: Una Guía Completa
Explora la teoría, aplicación y matemáticas detrás de la distribución Beta, una herramienta versátil para modelar probabilidades.

¿Qué es la Distribución Beta?

  • Conceptos Fundamentales
  • Parámetros Clave
  • Formas Versátiles
La distribución Beta es una distribución de probabilidad continua definida en el intervalo [0, 1]. Está parametrizada por dos parámetros de forma positivos, denotados como alfa (α) y beta (β). Su uso principal es modelar la incertidumbre sobre una probabilidad. Por ejemplo, puede representar la probabilidad de éxito en un experimento, como la tasa de clics de un anuncio o la tasa de conversión de un sitio web.
El Papel de Alfa (α) y Beta (β)
Los parámetros α y β son los parámetros de 'forma' que definen la forma de la distribución. Intuitivamente, pueden pensarse como conteos de 'éxitos' (α) y 'fracasos' (β). Si α es mayor que β, la masa de la distribución se concentra hacia 1 (alta probabilidad de éxito). Por el contrario, si β es mayor que α, la masa se concentra hacia 0 (baja probabilidad de éxito). Cuando α y β son iguales, la distribución es simétrica alrededor de 0.5.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Distribución Beta

  • Introducir Parámetros
  • Interpretar los Resultados
  • Usar Ejemplos
Esta calculadora simplifica el proceso de trabajar con la distribución Beta. Sigue estos pasos:
• Introduce el valor Alfa (α): Debe ser un número positivo que representa el conteo de éxitos o evidencia para una probabilidad más alta.
• Introduce el valor Beta (β): Debe ser un número positivo que representa el conteo de fracasos o evidencia para una probabilidad más baja.
• Introduce el valor x (opcional): Proporciona un valor entre 0 y 1 para calcular la Función de Densidad de Probabilidad (PDF) y la Función de Distribución Acumulativa (CDF) en ese punto específico.
• Haz clic en 'Calcular': La herramienta calculará la media, varianza, desviación estándar, moda, PDF y CDF.
Entendiendo las Salidas
Los resultados dan una imagen completa de la distribución. La media da la probabilidad esperada promedio, mientras que la varianza muestra su dispersión. La PDF te dice la probabilidad de una probabilidad específica 'x', y la CDF te dice la probabilidad total de obtener un valor hasta 'x'.

Aplicaciones del Mundo Real de la Distribución Beta

  • Inferencia Bayesiana
  • Gestión de Proyectos
  • Pruebas A/B
Inferencia Bayesiana y Distribuciones Previas
La distribución Beta es famosamente usada en estadística bayesiana como un previo conjugado para la distribución binomial. Esto significa que si tienes una creencia previa sobre una probabilidad (modelada como una distribución Beta) y observas nuevos datos (de un experimento binomial), tu creencia actualizada (el posterior) también es una distribución Beta. Esto hace que actualizar creencias sea matemáticamente conveniente.
Modelado de Duración de Tareas en PERT
En gestión de proyectos, PERT (Técnica de Evaluación y Revisión de Programas) usa la distribución Beta para modelar el tiempo que podría tomar una tarea. Al estimar tiempos de finalización optimistas, pesimistas y más probables, se puede ajustar una distribución Beta para estimar el tiempo esperado y el riesgo.
Análisis de Pruebas A/B
En marketing y desarrollo de productos, las pruebas A/B se usan para comparar dos versiones de una página web o aplicación. La tasa de conversión para cada versión puede modelarse como una distribución Beta. Al comparar las dos distribuciones, se puede determinar la probabilidad de que la versión A sea mejor que la versión B.

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Confundir con la Distribución Normal
  • Interpretar la Moda
  • Elegir Previos
Un error común es asumir que todas las distribuciones de probabilidad tienen forma de campana como la distribución Normal. La distribución Beta es altamente flexible y puede tener forma de U, J o ser uniforme, no solo en forma de campana.
¿Cuándo es Significativa la Moda?
La fórmula para la moda, (α - 1) / (α + β - 2), solo es válida cuando tanto α como β son mayores que 1. Si cualquiera es menor o igual a 1, el pico de la distribución está en un extremo (0 o 1) o la distribución tiene forma de U, en cuyo caso la moda como un pico único no está bien definida de la misma manera.
Previos Informativos vs. No Informativos
En análisis bayesiano, elegir previos es crucial. Una distribución Beta(1, 1) es una distribución uniforme, representando ningún conocimiento previo (un previo no informativo). Usar Beta(0, 0) a veces se sugiere pero es un previo impropio. Un previo informativo, como Beta(10, 2), sugeriría fuertemente que la probabilidad de éxito es alta.

Derivación Matemática y Fórmulas

  • Función de Densidad de Probabilidad (PDF)
  • Función de Distribución Acumulativa (CDF)
  • Medidas Estadísticas Clave
La base matemática de la distribución Beta reside en la función Beta, B(α, β).
La Fórmula PDF
La PDF está dada por: f(x; α, β) = (x^(α-1) * (1-x)^(β-1)) / B(α, β), donde B(α, β) = Γ(α)Γ(β) / Γ(α+β) es la función Beta, y Γ es la función Gamma. Esta fórmula asegura que el área total bajo la curva sea 1.
La Fórmula CDF
La CDF es la función beta incompleta regularizada, I_x(α, β), que representa la integral de la PDF desde 0 hasta x. No tiene una expresión cerrada simple y típicamente se calcula numéricamente.
Fórmulas para Media, Varianza y Moda
• Media (E[X]): α / (α + β)
• Varianza (Var(X)): (αβ) / ((α + β)²(α + β + 1))
• Moda: (α - 1) / (α + β - 2) (para α, β > 1)