Distribución Binomial Negativa

Distribuciones y Modelos Estadísticos

Esta calculadora determina la probabilidad de que ocurra un número específico de fracasos antes de que se logre un número predeterminado de éxitos en una serie de ensayos de Bernoulli.

Ejemplos Prácticos

Explora escenarios del mundo real para entender cómo se aplica la distribución binomial negativa.

Control de Calidad en Manufactura

manufacturing

Un fabricante inspecciona artículos de una línea de producción. La probabilidad de que un artículo sea no defectuoso es 0.95. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 3 artículos defectuosos antes de encontrar 100 no defectuosos?

r: 100, p: 0.95, k: 3

Tiros Libres de Baloncesto

sports

Una jugadora de baloncesto hace tiros libres con una tasa de éxito del 70%. ¿Cuál es la probabilidad de que falle 5 tiros antes de hacer 10 exitosos?

r: 10, p: 0.70, k: 5

Muestreo Ecológico

biology

Un ecólogo está buscando una especie rara de orquídea, con un 5% de probabilidad de encontrar una en cualquier cuadrante dado. ¿Cuál es la probabilidad de buscar 50 cuadrantes vacíos antes de encontrar 3 orquídeas?

r: 3, p: 0.05, k: 50

Éxito en Llamadas de Ventas

sales

Un vendedor tiene un 20% de probabilidad de cerrar un trato en cualquier llamada dada. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba 15 rechazos antes de cerrar 4 tratos?

r: 4, p: 0.20, k: 15

Otros Títulos
Entendiendo la Distribución Binomial Negativa: Una Guía Completa
Profundiza en los conceptos, aplicaciones y matemáticas detrás de la distribución binomial negativa.

¿Qué es la Distribución Binomial Negativa?

  • Conceptos Fundamentales
  • Parámetros Clave
  • Comparación con la Distribución Binomial
La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de fracasos (k) en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidos antes de que ocurra un número especificado y no aleatorio de éxitos (r). Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso, con la probabilidad de éxito (p) permaneciendo constante a lo largo de los ensayos.
Conceptos Fundamentales
A diferencia de la distribución binomial, que cuenta éxitos en un número fijo de ensayos, la distribución binomial negativa cuenta fracasos hasta que se alcanza un número fijo de éxitos. Esto la hace particularmente útil para modelar escenarios de 'tiempo de espera'.
Parámetros Clave
La distribución está definida por dos parámetros: 'r' (el número de éxitos a lograr) y 'p' (la probabilidad de éxito en un ensayo individual). La variable aleatoria 'X' representa el número de fracasos observados antes del r-ésimo éxito.
Comparación con la Distribución Binomial
La diferencia clave radica en qué está fijo y qué es aleatorio. En un experimento binomial, el número de ensayos está fijo, y el número de éxitos es la variable aleatoria. En un experimento binomial negativo, el número de éxitos está fijo, y el número de ensayos (o fracasos) es la variable aleatoria.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora

  • Ingresando Parámetros
  • Interpretando los Resultados
  • Usando las Funciones de Reinicio y Ejemplos
Esta calculadora simplifica el proceso de trabajar con la distribución binomial negativa. Sigue estos pasos para obtener tus resultados.
Ingresando Parámetros
  1. Número de Éxitos (r): Ingresa el número objetivo de éxitos. Debe ser un entero positivo.
  2. Probabilidad de Éxito (p): Ingresa la probabilidad de un éxito individual. Debe ser un número entre 0 y 1.
  3. Número de Fracasos (k): Ingresa el número específico de fracasos que te interesa. Debe ser un entero no negativo.
Interpretando los Resultados
La calculadora proporciona varias métricas clave: P(X=k) es la probabilidad de observar exactamente 'k' fracasos; P(X≤k) es la probabilidad acumulativa de observar 'k' o menos fracasos; P(X>k) es la probabilidad de observar más de 'k' fracasos. También calcula la media, varianza y desviación estándar de la distribución.
Usando las Funciones de Reinicio y Ejemplos
Haz clic en 'Reiniciar' para limpiar todos los campos de entrada y resultados. Usa la sección 'Ejemplos' para cargar escenarios prellenados, lo que ayuda a entender las aplicaciones prácticas de la fórmula.

Aplicaciones del Mundo Real de la Distribución Binomial Negativa

  • Control de Calidad
  • Biología y Ecología
  • Negocios y Finanzas
La distribución binomial negativa no es solo un concepto teórico; tiene numerosas aplicaciones prácticas en varios campos.
Control de Calidad
En manufactura, puede usarse para modelar el número de artículos defectuosos que deben inspeccionarse antes de encontrar un cierto número de artículos no defectuosos. Esto ayuda a establecer planes de inspección eficientes.
Biología y Ecología
Los ecólogos la usan para modelar la abundancia de especies. Por ejemplo, contar el número de plantas no hospederas ('fracasos') que un insecto debe visitar antes de encontrar un cierto número de plantas hospederas ('éxitos').
Negocios y Finanzas
En ventas, puede predecir el número de llamadas sin éxito que un representante podría tener que hacer antes de lograr un número objetivo de ventas. En finanzas, puede aplicarse para modelar el número de operaciones perdedoras antes de un cierto número de operaciones rentables.

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Confundir con la Distribución Geométrica
  • Asumir Probabilidad Constante
  • Ignorar la Independencia de los Ensayos
Entender las trampas comunes puede ayudar a aplicar la distribución binomial negativa correctamente.
Confundir con la Distribución Geométrica
Un error común es confundirla con la distribución geométrica. La distribución geométrica es un caso especial de la distribución binomial negativa donde el número de éxitos (r) es exactamente 1. Para r > 1, se requiere la distribución binomial negativa.
Asumir Probabilidad Constante
El modelo asume que la probabilidad de éxito 'p' es constante para cada ensayo. En escenarios del mundo real, esto podría no ser siempre cierto (ej., el porcentaje de tiros libres de un jugador podría cambiar con la fatiga). Es crucial validar esta suposición.
Ignorar la Independencia de los Ensayos
Los ensayos deben ser independientes. El resultado de un ensayo no debe influir en el resultado de otro. Si los ensayos son dependientes (ej., sacar cartas sin reemplazo), se deben usar otros modelos estadísticos.

Derivación Matemática y Fórmula

  • La Función de Masa de Probabilidad (PMF)
  • Calculando la Media y Varianza
  • Un Ejemplo Resuelto
La probabilidad de observar 'k' fracasos antes del r-ésimo éxito está dada por la Función de Masa de Probabilidad (PMF).
La Función de Masa de Probabilidad (PMF)
La fórmula es: P(X = k) = C(k + r - 1, k) p^r (1-p)^k. Aquí, C(n, k) es el coeficiente binomial, calculado como n! / (k! * (n-k)!). Representa el número de formas de arreglar los k fracasos entre los k+r-1 ensayos (ya que el último ensayo debe ser un éxito).
Calculando la Media y Varianza
El número esperado de fracasos (media) es μ = (r (1-p)) / p. La varianza, que mide la dispersión de la distribución, es σ² = (r (1-p)) / p².
Un Ejemplo Resuelto
Digamos que queremos encontrar 2 éxitos (r=2) con una probabilidad de éxito de 0.25 (p=0.25), y queremos saber la probabilidad de tener 3 fracasos (k=3) primero. P(X=3) = C(3+2-1, 3) (0.25)^2 (0.75)^3 = C(4, 3) 0.0625 0.421875 = 4 * 0.026367... ≈ 0.1055.