Calculadora de Distribución de Poisson

Distribuciones y Modelos Estadísticos

Calcula la probabilidad de que ocurra un número dado de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio.

Ejemplos

Explora escenarios del mundo real para entender cómo funciona la distribución de Poisson.

Volumen de Centro de Llamadas

call-center

Un centro de llamadas recibe un promedio de 10 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 5 llamadas en una hora?

λ: 10, x: 5

Defectos de Manufactura

manufacturing

Una fábrica produce bombillas, y hay, en promedio, 2 defectos por cada 100 bombillas. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar ningún defecto en un lote de 100?

λ: 2, x: 0

Bacterias en una Muestra

biology

Un biólogo espera encontrar 4 de un cierto tipo de bacteria en una placa de Petri. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar como máximo 3 bacterias?

λ: 4, x: 3

Visitantes del Sitio Web

web-traffic

Un sitio web recibe un promedio de 5.5 visitantes por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de recibir más de 7 visitantes en un minuto?

λ: 5.5, x: 7

Otros Títulos
Entendiendo la Distribución de Poisson: Una Guía Completa
Sumérgete en los conceptos, aplicaciones y matemáticas detrás de la Calculadora de Distribución de Poisson.

¿Qué es la Distribución de Poisson?

  • Conceptos Fundamentales
  • Suposiciones Clave
  • Relación con Otras Distribuciones
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad de que ocurra un número dado de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos ocurren con una tasa media constante conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. Lleva el nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson.
Conceptos Fundamentales
La distribución está definida por un solo parámetro, λ (lambda), que representa el número medio de eventos en el intervalo dado. Por ejemplo, si un centro de llamadas promedia 10 llamadas por hora, λ = 10.
Suposiciones Clave
Para que la distribución de Poisson sea un modelo válido, deben cumplirse varias suposiciones: 1) Los eventos son independientes. 2) La tasa promedio de eventos (λ) es constante. 3) Dos eventos no pueden ocurrir en el mismo instante exacto. 4) La probabilidad de un evento en un intervalo pequeño es proporcional a la longitud del intervalo.
Relación con Otras Distribuciones
La distribución de Poisson puede verse como un caso límite de la distribución binomial cuando el número de ensayos (n) es muy grande y la probabilidad de éxito (p) es muy pequeña (es decir, n → ∞, p → 0, y np → λ).

Ejemplos Conceptuales

  • Número de correos electrónicos que recibes en una hora.
  • Número de errores tipográficos en una página de un libro.
  • Número de automóviles que pasan por un punto específico en una autopista en un minuto.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Distribución de Poisson

  • Ingresando tus Datos
  • Interpretando los Resultados
  • Usando las Funciones de Reinicio y Ejemplos
Nuestra calculadora simplifica el proceso de encontrar probabilidades de Poisson. Aquí te explicamos cómo usarla efectivamente.
Ingresando tus Datos
Necesitas dos piezas de información: la 'Tasa Promedio de Éxito (λ)' y el 'Número de Éxitos (x)'. Lambda (λ) es el número promedio de veces que ocurre el evento, y x es el número específico que te interesa.
Interpretando los Resultados
La calculadora proporciona varias salidas: P(X = x) es la probabilidad de exactamente x eventos. P(X ≤ x) es la probabilidad acumulativa de x o menos eventos. P(X ≥ x) es la probabilidad de x o más eventos. También muestra la media, varianza y desviación estándar de la distribución.
Usando las Funciones de Reinicio y Ejemplos
El botón 'Reiniciar' borra todas las entradas y resultados. La sección 'Ejemplos' proporciona escenarios prellenados para ayudarte a entender diferentes casos de uso.

Aplicaciones del Mundo Real de la Distribución de Poisson

  • Finanzas y Seguros
  • Telecomunicaciones
  • Control de Calidad
La distribución de Poisson no es solo un concepto teórico; se usa ampliamente en varios campos.
Finanzas y Seguros
Las aseguradoras la usan para modelar el número de reclamos (por ejemplo, accidentes automovilísticos, incendios en casas) que esperan recibir en un período dado para establecer primas apropiadamente.
Telecomunicaciones
Ayuda a modelar el número de llamadas que llegan a un centro de llamadas o el número de paquetes de datos que llegan a un enrutador, lo cual es crucial para la planificación de capacidad.
Control de Calidad
Los fabricantes usan la distribución de Poisson para monitorear el número de defectos o imperfecciones en un producto (por ejemplo, defectos por metro cuadrado de tela, manchas por panel de automóvil).

Escenarios de Aplicación

  • Modelar el número de bancarrotas por mes en una ciudad.
  • Estimar el número de goles en un partido de fútbol.
  • Predecir el número de eventos de desintegración radiactiva en un tiempo dado.

Derivación Matemática y Fórmula

  • La Fórmula de Poisson
  • Calculando Probabilidades Acumulativas
  • Media, Varianza y Desviación Estándar
La magia detrás de la calculadora es la función de masa de probabilidad de Poisson (PMF).
La Fórmula de Poisson
La probabilidad de observar exactamente x eventos está dada por la fórmula: P(X=x) = (λ^x * e^-λ) / x! donde 'e' es el número de Euler (aproximadamente 2.71828), 'λ' es la tasa promedio, y 'x!' es el factorial de x.
Calculando Probabilidades Acumulativas
Para encontrar probabilidades acumulativas como P(X ≤ x), sumamos las probabilidades de todos los resultados desde 0 hasta x: Σ [i=0 a x] P(X=i).
Media, Varianza y Desviación Estándar
Una propiedad única de la distribución de Poisson es que su media (valor esperado) y varianza son ambas iguales a λ. La desviación estándar es por tanto √λ.

Ejemplo de Cálculo

  • Si λ=3 y x=2, P(X=2) = (3^2 * e^-3) / 2! = (9 * 0.0498) / 2 ≈ 0.224.

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Confundir con Binomial
  • Asumir Tasa Constante
  • Malinterpretar Lambda
Entender las trampas comunes puede ayudarte a aplicar la distribución de Poisson correctamente.
Confundir con la Distribución Binomial
La distribución Binomial modela el número de éxitos en un número fijo de ensayos, mientras que la distribución de Poisson modela el número de eventos en un intervalo fijo. Usa Binomial para escenarios 'de n' y Poisson para escenarios 'de tasa'.
Asumir una Tasa Constante
Una suposición clave es que la tasa promedio λ es constante. Si la tasa cambia durante el intervalo (por ejemplo, el volumen de llamadas es mayor durante las horas de trabajo), un modelo estándar de Poisson puede no ser apropiado.
Malinterpretar Lambda
Asegúrate de que la lambda (λ) que uses corresponda al intervalo que te interesa. Si conoces la tasa por hora pero quieres calcular la probabilidad para un intervalo de 30 minutos, debes ajustar λ en consecuencia (por ejemplo, dividir por 2).