Distribución de Rayleigh

Distribuciones y Modelos Estadísticos

Ingresa el parámetro de escala (σ) y un valor (x) para calcular las propiedades de la distribución de Rayleigh.

Ejemplos Prácticos

Explora escenarios del mundo real para entender cómo se aplica la distribución de Rayleigh.

Cálculo Básico

basic

Un ejemplo estándar para ver cómo funciona la calculadora con entradas comunes.

σ: 1.0

x: 1.0

Modelado de Velocidad del Viento

wind_speed

Modelando la velocidad promedio del viento en una ubicación específica donde el parámetro de escala se estima en 10 m/s.

σ: 10.0

x: 12.0

Amplitud de Envolvente de Señal

signal_processing

En comunicaciones, la envolvente de una señal inalámbrica podría seguir una distribución de Rayleigh. Aquí, analizamos una señal con un parámetro de escala de 0.5.

σ: 0.5

x: 0.7

Ingeniería de Confiabilidad

reliability

Analizando la vida útil de un componente donde el tiempo de falla sigue una distribución de Rayleigh con σ = 1000 horas.

σ: 1000

x: 800

Otros Títulos
Entendiendo la Distribución de Rayleigh: Una Guía Integral
Una mirada profunda a los principios, aplicaciones y cálculos relacionados con la distribución de Rayleigh.

¿Qué es la Distribución de Rayleigh?

  • Conceptos Fundamentales
  • Propiedades Clave
  • Relación con Otras Distribuciones
La distribución de Rayleigh es una distribución de probabilidad continua para variables aleatorias no negativas. Es ampliamente utilizada en física e ingeniería para modelar fenómenos como alturas de olas, velocidades del viento y la magnitud de señales complejas. Es un caso especial de la distribución de Weibull con un parámetro de forma de 2.
Propiedades Clave
La distribución se caracteriza por un solo parámetro, σ (sigma), conocido como el parámetro de escala. Este parámetro también representa la moda de la distribución. A diferencia de la distribución normal, la distribución de Rayleigh está sesgada hacia la derecha y solo está definida para valores positivos.
Relación con Otras Distribuciones
Si dos variables aleatorias independientes, X e Y, siguen una distribución normal de media cero con la misma varianza σ², entonces la magnitud del vector R = sqrt(X² + Y²) tendrá una distribución de Rayleigh con parámetro de escala σ.

Ejemplos Conceptuales

  • La magnitud de un vector 2D aleatorio cuyas componentes son independientes y normalmente distribuidas.
  • La amplitud del sonido resultante de muchas fuentes independientes.
  • La altura de las olas del océano.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Distribución de Rayleigh

  • Ingresando Parámetros
  • Interpretando los Resultados
  • Usando Ejemplos
Nuestra calculadora simplifica el proceso de trabajar con la distribución de Rayleigh. Aquí te explicamos cómo usarla efectivamente.
Ingresando Parámetros
Necesitas proporcionar dos valores: el Parámetro de Escala (σ), que debe ser un número positivo, y el Valor (x), que debe ser un número no negativo. El parámetro de escala define la forma y dispersión de la distribución, mientras que 'x' es el punto específico que quieres analizar.
Interpretando los Resultados
La calculadora proporciona varias salidas clave: PDF (la densidad de probabilidad en x), CDF (la probabilidad de obtener un valor menor o igual a x), CDF Complementaria (la probabilidad de obtener un valor mayor que x), y propiedades estadísticas como Media, Mediana, Moda y Varianza.

Recorrido de Cálculo

  • Ingresa σ = 5 y x = 4. Presiona 'Calcular'.
  • Observa el valor PDF, que te dice la densidad de probabilidad en x=4.
  • Verifica el valor CDF, que te da P(X ≤ 4).

Aplicaciones del Mundo Real de la Distribución de Rayleigh

  • Comunicaciones Inalámbricas
  • Oceanografía y Meteorología
  • Ingeniería de Confiabilidad
Comunicaciones Inalámbricas
En sistemas inalámbricos, la distribución de Rayleigh se utiliza para modelar el desvanecimiento de señales de radio. Cuando no hay una trayectoria dominante de línea de vista entre el transmisor y el receptor, la envolvente de la señal tiende a seguir una distribución de Rayleigh. Esto ayuda a los ingenieros a diseñar sistemas de comunicación robustos.
Oceanografía y Meteorología
La distribución se utiliza para modelar alturas significativas de olas y velocidades del viento. Al ajustar datos observados a una distribución de Rayleigh, los científicos pueden predecir la probabilidad de eventos climáticos extremos, lo cual es crucial para la seguridad marítima y la ingeniería offshore.

Escenarios de Aplicación

  • Estimando la probabilidad de que una señal de teléfono móvil caiga por debajo de un umbral determinado.
  • Prediciendo la probabilidad de encontrar olas más altas que 10 metros durante un viaje marítimo.
  • Modelando la vida útil de un componente electrónico que falla debido a múltiples factores de estrés independientes.

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Distribución de Rayleigh vs. Rice
  • Asumiendo Simetría
  • Confundiendo Moda y Media
Distribución de Rayleigh vs. Rice
Un error común es usar la distribución de Rayleigh cuando hay un componente dominante de línea de vista (LOS) en la señal. En tales casos, la distribución de Rice (o Rician) es más apropiada. La distribución de Rayleigh es la elección correcta solo cuando la señal está compuesta de muchos componentes dispersos sin trayectoria LOS.
Confundiendo Moda y Media
A diferencia de una distribución simétrica, la media, mediana y moda de una distribución de Rayleigh no son las mismas. La moda es igual al parámetro de escala σ, mientras que la media es ligeramente mayor (σ * √(π/2)). Es importante usar la medida correcta de tendencia central para la aplicación específica.

Ejemplos de Corrección

  • Si analizas una señal con un componente directo fuerte, usa la distribución de Rice en su lugar.
  • Para una distribución con σ = 10, el valor más probable (moda) es 10, pero el valor promedio (media) es aproximadamente 12.53.

Derivación Matemática y Fórmulas

  • Función de Densidad de Probabilidad (PDF)
  • Función de Distribución Acumulativa (CDF)
  • Métricas Estadísticas Clave
Función de Densidad de Probabilidad (PDF)
La PDF de la distribución de Rayleigh está dada por la fórmula: f(x; σ) = (x / σ²) * e^(-x² / (2σ²)) para x ≥ 0. Esta función describe la probabilidad relativa de que una variable aleatoria X tome el valor x.
Función de Distribución Acumulativa (CDF)
La CDF da la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual a x: F(x; σ) = 1 - e^(-x² / (2σ²)). Esto se deriva integrando la PDF desde 0 hasta x.
Métricas Estadísticas Clave
Las principales medidas estadísticas se calculan de la siguiente manera: Media = σ√(π/2), Mediana = σ√(2ln(2)), Moda = σ, Varianza = ((4-π)/2)σ².

Aplicación de Fórmulas

  • Para σ = 1, la PDF en x = 1 es (1/1²) * e^(-1²/2) ≈ 0.606.
  • Para σ = 1, la CDF en x = 1 es 1 - e^(-1²/2) ≈ 0.393.