Distribución Exponencial

Distribuciones y Modelos Estadísticos

Calcula probabilidades y estadísticas para una distribución exponencial.

Ejemplos

Explora algunos escenarios comunes para la distribución exponencial.

Vida Útil de Bombilla

standard

Una bombilla tiene una vida útil promedio de 2000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que dure al menos 2500 horas?

λ: 0.0005, x: 2500

Tipo:

Llamadas de Servicio al Cliente

real-world

Las llamadas de servicio al cliente llegan a una tasa de 2 por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima llamada llegue en menos de 30 segundos (0.5 minutos)?

λ: 2, x: 0.5

Tipo:

Decaimiento Radioactivo

scientific

Una partícula radioactiva decae a una tasa de λ = 0.1 por segundo. ¿Cuál es la densidad de probabilidad exactamente a los 5 segundos?

λ: 0.1, x: 5

Tipo:

Llegada de Autobús

simple

El tiempo entre llegadas de autobuses en una parada se distribuye exponencialmente con una media de 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo autobús llegue en más de 15 minutos?

λ: 0.1, x: 15

Tipo:

Otros Títulos
Entendiendo la Distribución Exponencial
Una Guía Completa de un Concepto Clave de Probabilidad

¿Qué es la Distribución Exponencial?

  • Definición Central
  • Propiedades Clave
  • La Propiedad Sin Memoria
La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua utilizada para modelar el tiempo que necesitamos esperar antes de que ocurra un evento dado. Se usa frecuentemente en análisis de confiabilidad y teoría de colas. Un parámetro clave de esta distribución es el parámetro de tasa (λ), que representa el número promedio de eventos por unidad de tiempo.
Formulación Matemática
La Función de Densidad de Probabilidad (PDF) está dada por f(x; λ) = λe^(-λx) para x ≥ 0. La Función de Distribución Acumulativa (CDF) es F(x; λ) = 1 - e^(-λx). Estas fórmulas son la base para todos los cálculos relacionados con esta distribución.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora

  • Introduciendo Parámetros
  • Seleccionando Tipo de Cálculo
  • Interpretando Resultados
1. Introduce el Parámetro de Tasa (λ)
Este valor representa la tasa promedio de eventos. Por ejemplo, si una máquina falla 2 veces por año en promedio, λ = 2.
2. Introduce el Valor de x
Este es el tiempo o valor específico que te interesa. Por ejemplo, para encontrar la probabilidad de que la máquina falle dentro de 6 meses (0.5 años), x = 0.5.
3. Elige tu Cálculo
Selecciona la probabilidad deseada del menú desplegable: P(X < x), P(X ≤ x), P(X > x), P(X ≥ x), o el valor PDF en x.
4. Analiza la Salida
La calculadora proporciona la probabilidad calculada, junto con estadísticas clave como la media, mediana y varianza, dando una imagen completa de la distribución.

Aplicaciones del Mundo Real de la Distribución Exponencial

  • Ingeniería de Confiabilidad
  • Teoría de Colas
  • Finanzas y Seguros
Vida Útil de Productos
Los ingenieros usan la distribución exponencial para predecir la vida útil de componentes electrónicos. El parámetro de tasa λ corresponde a la tasa de fallo.
Tiempos de Espera de Clientes
Las empresas modelan el tiempo entre llegadas de clientes a un mostrador de servicio o centro de llamadas. Esto ayuda en la asignación de recursos y mejora la satisfacción del cliente.
Modelado Financiero
En finanzas, se puede usar para modelar el tiempo entre grandes shocks del mercado o el tiempo hasta que una empresa incumple su deuda.

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Confundir con la Distribución de Poisson
  • El Concepto Erróneo de 'Sin Memoria'
  • Tasa vs. Media
Exponencial vs. Poisson
La distribución de Poisson modela el número de eventos en un intervalo fijo, mientras que la distribución exponencial modela el tiempo entre esos eventos. Están relacionadas pero describen diferentes aspectos del mismo proceso.
Entendiendo la Propiedad Sin Memoria
La propiedad sin memoria establece que la probabilidad de que un evento ocurra en el próximo intervalo es independiente de cuánto tiempo ya ha pasado. Para una máquina que no ha fallado durante 100 horas, la probabilidad de que falle en la próxima hora es la misma que era para una máquina nueva. Esta es una característica única y poderosa, pero a menudo mal entendida.
Tasa (λ) vs. Media (1/λ)
Es fácil confundir el parámetro de tasa con la media. Recuerda que el tiempo medio entre eventos es el recíproco de la tasa (Media = 1/λ). Una tasa alta significa que los eventos ocurren frecuentemente, por lo que el tiempo medio entre ellos es corto.

Derivación Matemática y Ejemplos

  • Derivación de la Media
  • Derivación de la Varianza
  • Ejemplo Resuelto
Derivando la Media
El valor esperado o media (E[X]) se calcula integrando x * f(x) desde 0 hasta infinito. Usando integración por partes, E[X] = ∫[0, ∞] xλe^(-λx) dx, que se simplifica a 1/λ.
Derivando la Varianza
La varianza (Var(X)) es E[X²] - (E[X])². Primero, encontramos E[X²] = ∫[0, ∞] x²λe^(-λx) dx = 2/λ². Entonces, Var(X) = (2/λ²) - (1/λ)² = 1/λ².
Ejemplo: Centro de Llamadas
Las llamadas llegan a un centro a una tasa de λ = 4 llamadas por hora. Queremos encontrar la probabilidad de que la próxima llamada llegue dentro de 15 minutos (0.25 horas). Usamos la CDF: P(X ≤ 0.25) = 1 - e^(-4 * 0.25) = 1 - e^(-1) ≈ 1 - 0.3679 = 0.6321. Hay una probabilidad del 63.21% de que la próxima llamada llegue dentro de 15 minutos.