Distribución Geométrica

Distribuciones y Modelos Estadísticos

Calcula las probabilidades relacionadas con el número de ensayos requeridos para el primer éxito en una serie de ensayos de Bernoulli.

Ejemplos

Explora algunos escenarios del mundo real para entender cómo funciona la distribución geométrica.

Primer Tiro Exitoso

Tiros Libres de Baloncesto

Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad del 75% de hacer un tiro libre. ¿Cuál es la probabilidad de que haga su primer tiro exitoso en su tercer intento?

p: 0.75, k: 3

Tipo: P(X = k) - Probabilidad del primer éxito en el k-ésimo ensayo.

Encontrar un Producto Defectuoso

Control de Calidad

La probabilidad de que un artículo manufacturado sea defectuoso es del 5%. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer artículo defectuoso se encuentre dentro de los primeros 10 artículos inspeccionados?

p: 0.05, k: 10

Tipo: P(X ≤ k) - Probabilidad del primer éxito en o antes del k-ésimo ensayo.

Obtener un Seis

Lanzar un Dado

Estás lanzando un dado justo de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que necesites más de 4 lanzamientos para obtener tu primer seis?

p: 0.1667, k: 4

Tipo: P(X > k) - Probabilidad del primer éxito después del k-ésimo ensayo.

Primer Clic

Marketing por Email

Una campaña de email tiene una tasa de clics del 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer clic ocurra en el 5º email enviado o después?

p: 0.20, k: 5

Tipo: P(X ≥ k) - Probabilidad del primer éxito en o después del k-ésimo ensayo.

Otros Títulos
Entendiendo la Distribución Geométrica: Una Guía Completa
Sumérgete en los principios, aplicaciones y cálculos de la distribución geométrica, un concepto fundamental en probabilidad y estadísticas.

¿Qué es la Distribución Geométrica?

  • Definiendo el Concepto Central
  • Características Clave y Suposiciones
  • Dos Variaciones de la Distribución
La distribución geométrica es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de ensayos de Bernoulli sucesivos e independientes necesarios para lograr el primer éxito. Un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio con exactamente dos resultados posibles: 'éxito' o 'fracaso', donde la probabilidad de éxito es la misma para cada ensayo. Esta distribución es fundamental para analizar problemas de 'tiempo de espera' hasta que ocurre un evento específico.
Características Clave y Suposiciones
Para que una variable aleatoria siga una distribución geométrica, debe satisfacer cuatro condiciones clave: los ensayos deben ser independientes, cada ensayo debe tener solo dos resultados (éxito o fracaso), la probabilidad de éxito (p) debe ser constante para cada ensayo, y la variable de interés es el número de ensayos requeridos para obtener el primer éxito.
Dos Variaciones de la Distribución
Es importante distinguir entre dos formas comunes de la distribución geométrica. Una versión modela el número de ensayos (k) necesarios para obtener el primer éxito (k = 1, 2, 3, ...). La otra modela el número de fracasos (y = k - 1) antes del primer éxito (y = 0, 1, 2, ...). Nuestra calculadora se enfoca en la primera versión, que es más común en estadísticas introductorias.

Ejemplos Conceptuales

  • Lanzar una moneda hasta obtener la primera cara.
  • Lanzar un dado hasta obtener un 6.
  • Un vendedor haciendo llamadas hasta hacer su primera venta.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Distribución Geométrica

  • Ingresando tus Datos Correctamente
  • Eligiendo el Tipo de Cálculo Correcto
  • Interpretando los Resultados
Nuestra calculadora simplifica fórmulas complejas en una interfaz fácil de usar. Sigue estos pasos para obtener resultados precisos.
Ingresando tus Datos Correctamente
Comienza ingresando la 'Probabilidad de Éxito (p)', que debe ser un número entre 0 y 1. Luego, ingresa el 'Número de Ensayos (k)', que representa el ensayo en el que te interesa que ocurra el primer éxito. Esto debe ser un entero positivo.
Eligiendo el Tipo de Cálculo Correcto
Selecciona uno de los cuatro tipos de probabilidad: P(X = k) para el ensayo exacto, P(X ≤ k) para éxito en o antes de un ensayo, P(X > k) para éxito después de un ensayo, o P(X ≥ k) para éxito en o después de un ensayo. Tu elección depende de la pregunta específica que estás tratando de responder.
Interpretando los Resultados
La calculadora proporciona la probabilidad calculada principal, junto con medidas estadísticas clave como la media (número esperado de ensayos), varianza y desviación estándar. La tabla de distribución ofrece una vista más amplia mostrando la probabilidad del primer éxito ocurriendo en diferentes ensayos.

Ejemplo de Cálculo Paso a Paso

  • Si p=0.2 y k=3 para P(X=k), la calculadora encuentra la probabilidad del primer éxito siendo exactamente en el tercer ensayo.
  • Si p=0.1 y k=5 para P(X≤k), calcula la suma de probabilidades para el primer éxito ocurriendo en el ensayo 1, 2, 3, 4, o 5.

Aplicaciones del Mundo Real de la Distribución Geométrica

  • Negocios y Control de Calidad
  • Ciencia e Investigación
  • Vida Cotidiana
La distribución geométrica no es solo un concepto teórico; tiene numerosas aplicaciones prácticas en varios campos.
Negocios y Control de Calidad
En manufactura, puede usarse para determinar el número esperado de artículos a inspeccionar antes de encontrar uno defectuoso. Esto ayuda en la planificación de procesos de aseguramiento de calidad y asignación de recursos.
Ciencia e Investigación
En biología, puede modelar el número de intentos necesarios para un cierto resultado experimental, como la replicación exitosa de genes. En medicina, podría modelar el número de tratamientos requeridos antes de que un paciente responda positivamente.
Vida Cotidiana
La distribución aparece en muchos escenarios cotidianos, como el número de veces que tienes que lanzar un dado para obtener un número específico, o el número de solicitudes de trabajo que necesitas enviar antes de obtener una oferta.

Escenarios de Aplicación

  • Un investigador de mercado preguntando a personas una pregunta de encuesta hasta encontrar a alguien que esté de acuerdo con cierto punto de vista.
  • Un pescador lanzando una línea hasta atrapar su primer pez.

Derivación Matemática y Fórmulas

  • La Función de Masa de Probabilidad (PMF)
  • La Función de Distribución Acumulativa (CDF)
  • Media, Varianza y Desviación Estándar
Entender las fórmulas detrás de la distribución geométrica proporciona una comprensión más profunda de cómo se calculan las probabilidades.
La Función de Masa de Probabilidad (PMF)
La probabilidad del primer éxito ocurriendo en el k-ésimo ensayo está dada por la fórmula: P(X = k) = (1 - p)^(k-1) * p. Esto representa la probabilidad de (k-1) fracasos seguidos por un éxito.
La Función de Distribución Acumulativa (CDF)
La probabilidad del primer éxito ocurriendo en o antes del k-ésimo ensayo está dada por: P(X ≤ k) = 1 - (1 - p)^k. Esto es a menudo más fácil de calcular que sumar valores individuales de PMF.
Media, Varianza y Desviación Estándar
Las medidas estadísticas clave se calculan de la siguiente manera: Media (μ) = 1/p. Varianza (σ²) = (1 - p) / p². La Desviación Estándar (σ) es la raíz cuadrada de la varianza.

Ejemplos de Fórmulas

  • Para p=0.25, la media es 1/0.25 = 4. Esperarías esperar 4 ensayos para el primer éxito.
  • Para p=0.5, la varianza es (1-0.5)/0.5² = 0.5/0.25 = 2.