Distribución Hipergeométrica

Distribuciones y Modelos Estadísticos

Calcula la probabilidad de k éxitos en n extracciones, sin reemplazo, de una población finita de tamaño N que contiene exactamente K objetos con esa característica.

Ejemplos Prácticos

Explora escenarios del mundo real para entender cómo se aplica la distribución hipergeométrica.

Sacar Ases en Póker

Mano de Póker

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente 2 ases en una mano de 5 cartas de una baraja estándar de 52 cartas?

N: 52, K: 4

n: 5, k: 2

Inspección de Piezas Defectuosas

Control de Calidad

Un lote de 100 chips de computadora contiene 10 defectuosos. Si seleccionas aleatoriamente 8 chips para inspección, ¿cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 1 chip defectuoso?

N: 100, K: 10

n: 8, k: 1

Estudio de Población de Peces

Genética

En un estanque con 200 peces, 50 están marcados. Si un investigador captura 20 peces, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de ellos estén marcados?

N: 200, K: 50

n: 20, k: 5

Boleto de Lotería

Lotería

En una lotería, se extraen 6 números de 49. Para ganar un premio, debes acertar al menos 3 números. ¿Cuál es la probabilidad de acertar exactamente 3 números si compraste un boleto?

N: 49, K: 6

n: 6, k: 3

Otros Títulos
Entendiendo la Distribución Hipergeométrica: Una Guía Completa
Sumérgete en los principios, aplicaciones y cálculos de la distribución hipergeométrica, un concepto clave en estadística para muestreo sin reemplazo.

¿Qué es la Distribución Hipergeométrica?

  • Concepto Central: Muestreo Sin Reemplazo
  • Diferenciándose de la Distribución Binomial
  • Parámetros Clave de la Distribución
La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta que describe la probabilidad de k éxitos (extracciones aleatorias para las cuales el objeto extraído tiene una característica especificada) en n extracciones, sin reemplazo, de una población finita de tamaño N que contiene exactamente K objetos con esa característica. Esto contrasta con la distribución binomial, que describe la probabilidad de k éxitos en n extracciones con reemplazo.
Por Qué Importa 'Sin Reemplazo'
La distinción clave es que la probabilidad de éxito cambia con cada extracción. Por ejemplo, si sacas una carta de una baraja y no la devuelves, la probabilidad de sacar un as en la segunda extracción es diferente de la primera. La distribución hipergeométrica tiene en cuenta estas probabilidades cambiantes.

Diferencias Clave

  • Hipergeométrica: La población es finita y el muestreo se realiza sin reemplazo.
  • Binomial: Los ensayos son independientes y la probabilidad de éxito permanece constante (muestreo con reemplazo).

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Distribución Hipergeométrica

  • Ingresando Tus Datos Correctamente
  • Interpretando los Resultados de Probabilidad
  • Entendiendo las Métricas Estadísticas
Usar la calculadora es sencillo. Necesitas cuatro piezas clave de información:

• Tamaño de Población (N): El número total de elementos de los que extraes. • Éxitos en Población (K): El número total de elementos con la característica deseada. • Tamaño de Muestra (n): Cuántos elementos extraes. • Éxitos en Muestra (k): El número específico de elementos exitosos que te interesan.

Decodificando la Salida
La calculadora proporciona varias salidas. 'P(X=k)' es la probabilidad exacta para tu número especificado de éxitos. Las probabilidades acumulativas (ej., P(X≤k)) te dicen la probabilidad de obtener 'a lo sumo' k éxitos. La media, varianza y desviación estándar describen el centro, dispersión y desviación típica de la distribución.

Aplicaciones del Mundo Real de la Distribución Hipergeométrica

  • Control de Calidad en Manufactura
  • Estudios Ecológicos y de Población
  • Juegos de Azar y Juegos de Cartas
La distribución hipergeométrica no es solo un concepto académico; tiene numerosas aplicaciones prácticas.
Manufactura y Control de Calidad
Imagina que una fábrica produce un lote de 1,000 bombillas y 50 son defectuosas. Un inspector selecciona aleatoriamente 100 bombillas. La distribución hipergeométrica puede calcular la probabilidad de que la muestra contenga exactamente 5 bombillas defectuosas, ayudando a la empresa a decidir si todo el lote debe ser rechazado.
Genética y Ecología
Los biólogos la usan para métodos de captura-recaptura para estimar tamaños de población animal. Si capturan, marcan y liberan 100 ciervos en un bosque, y más tarde recapturan 50, encontrando que 10 están marcados, pueden estimar la población total de ciervos.

Derivación Matemática y Fórmula

  • El Papel de las Combinaciones
  • Desglosando la Fórmula
  • Calculando la Media y Varianza
El poder de la distribución hipergeométrica proviene de su fundamento en la combinatoria, las matemáticas del conteo.
La Fórmula Explicada
P(X=k) = [ C(K, k) * C(N-K, n-k) ] / C(N, n)

• C(K, k): El número de formas de elegir k éxitos de los K éxitos disponibles en la población. • C(N-K, n-k): El número de formas de elegir los n-k elementos restantes (fracasos) de los N-K fracasos en la población. • C(N, n): El número total de formas de elegir una muestra de tamaño n de toda la población de tamaño N.

Esencialmente, la fórmula calcula la razón del número de formas de obtener el resultado deseado al número total de resultados posibles.

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Confundir Hipergeométrica con Binomial
  • La Regla del '10%'
  • Evitando Errores Comunes de Entrada
Un punto principal de confusión es cuándo usar la distribución hipergeométrica versus la distribución binomial. La elección depende de si el muestreo se realiza con o sin reemplazo.
¿Cuándo Puedes Aproximar con Binomial?
Aunque técnicamente diferentes, si el tamaño de muestra (n) es menor al 10% del tamaño de población (N), el cambio en probabilidad de una extracción a la siguiente es mínimo. En tales casos, la distribución binomial puede servir como una aproximación razonable y más simple. Sin embargo, para precisión, especialmente con poblaciones más pequeñas, el modelo hipergeométrico es la elección correcta.
Asegúrate de que tus entradas sean lógicas. Por ejemplo, el número de éxitos en la muestra (k) no puede ser mayor que el tamaño de muestra (n) o el número total de éxitos en la población (K).