Calculadora de Distribución Lognormal

Distribuciones y Modelos Estadísticos

Introduce los parámetros de la distribución lognormal para calcular sus propiedades.

Ejemplos

Explora algunos escenarios comunes para la distribución lognormal.

Distribución Lognormal Estándar

Caso Estándar

Una distribución lognormal estándar con μ=0 y σ=1.

σ: 1, μ: 0

x: 1.5

Análisis de Precio de Acciones

Modelado Financiero

Modelado de un precio de acción con una media y volatilidad dadas.

σ: 0.4, μ: 2

x: 10

Análisis de Confiabilidad

Ingeniería

Analizando el tiempo hasta el fallo de un componente.

σ: 0.75, μ: 5

x: 100

Modelado de Precios de Bienes Raíces

Bienes Raíces

Modelado de precios de bienes raíces en un área específica.

σ: 0.2, μ: 12

x: 200000

Otros Títulos
Entendiendo la Distribución Lognormal: Una Guía Completa
Una mirada profunda a las propiedades, aplicaciones y cálculos de la distribución lognormal.

¿Qué es la Distribución Lognormal?

  • Concepto Central
  • Parámetros Clave
  • Relación con la Distribución Normal
La distribución lognormal es una distribución de probabilidad continua de una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. En otras palabras, si una variable aleatoria X está distribuida lognormalmente, entonces Y = ln(X) tiene una distribución normal. Esta distribución se usa ampliamente para modelar cantidades aleatorias continuas que son siempre positivas y tienen distribuciones sesgadas con colas largas hacia la derecha.
Parámetros Clave
Una distribución lognormal se define por dos parámetros: el parámetro de ubicación (μ, o escala log) y el parámetro de escala (σ, o forma). Estos son la media y la desviación estándar del logaritmo de la variable, no de la variable misma. Cambiar μ desplaza toda la distribución, mientras que cambiar σ altera su forma.
Relación con la Distribución Normal
El vínculo entre las distribuciones lognormal y normal es fundamental. Si tomas el logaritmo natural de un conjunto de datos distribuido lognormalmente, los datos resultantes estarán normalmente distribuidos. Esta propiedad es crucial para el análisis y es la razón del nombre de la distribución.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Distribución Lognormal

  • Introduciendo Parámetros
  • Interpretando los Resultados
  • Usando los Ejemplos
Introduciendo Parámetros
Para usar la calculadora, necesitas proporcionar tres valores: Escala (σ), Ubicación (μ), y el valor-x. 'Escala' es la desviación estándar de los datos log y debe ser positiva. 'Ubicación' es la media de los datos log. 'valor-x' es el punto específico en el cual quieres calcular las funciones de probabilidad y debe ser no negativo.
Interpretando los Resultados
La calculadora proporciona seis salidas clave: PDF (la probabilidad de que la variable tome un valor específico x), CDF (la probabilidad de que la variable sea menor o igual a x), y la Media, Mediana, Moda y Varianza de la distribución. Estas métricas proporcionan una imagen completa de las características de la distribución.

Aplicaciones del Mundo Real de la Distribución Lognormal

  • Finanzas y Economía
  • Ingeniería y Confiabilidad
  • Biología y Medicina
Finanzas y Economía
En finanzas, las distribuciones lognormales se usan famosamente para modelar precios de acciones, ya que un precio de acción no puede ser negativo y sus cambios son a menudo multiplicativos. Es una piedra angular del modelo Black-Scholes para la valoración de opciones.
Ingeniería y Confiabilidad
En ingeniería de confiabilidad, el tiempo que tarda un material en fallar bajo estrés a menudo sigue una distribución lognormal. Esto se usa para predecir vidas útiles de productos y horarios de mantenimiento.
Biología y Medicina
Muchos procesos biológicos resultan en cantidades distribuidas lognormalmente. Los ejemplos incluyen el tamaño del tejido vivo, el número de cabellos en la cabeza de una persona, y el período de latencia de enfermedades infecciosas.

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Confundir Parámetros
  • Interpretar la Media
  • Suposición de Simetría
Confundir Parámetros (μ y σ)
Un error común es interpretar μ y σ como la media y desviación estándar directas de los datos. Son la media y desviación estándar del logaritmo de los datos. La media y varianza reales de la distribución se calculan a partir de estos parámetros, como se muestra en los resultados.
Suposición de Simetría
A diferencia de la distribución normal, la distribución lognormal no es simétrica. Está sesgada positivamente, con una cola larga hacia la derecha. La media, mediana y moda son todos valores diferentes, lo cual es una característica clave de su forma.

Derivación Matemática y Fórmulas

  • Función de Densidad de Probabilidad (PDF)
  • Función de Distribución Acumulativa (CDF)
  • Propiedades Estadísticas Clave
Función de Densidad de Probabilidad (PDF)
La fórmula para la PDF de una distribución lognormal es: f(x) = (1 / (x σ sqrt(2π))) exp(-(ln(x) - μ)² / (2 σ²)) para x > 0.
Función de Distribución Acumulativa (CDF)
La CDF está dada por: F(x) = Φ((ln(x) - μ) / σ), donde Φ es la CDF de la distribución normal estándar.
Propiedades Estadísticas Clave

Fórmulas:

  • Media: E[X] = exp(μ + σ²/2)
  • Mediana: Med[X] = exp(μ)
  • Moda: Moda[X] = exp(μ - σ²)
  • Varianza: Var[X] = (exp(σ²) - 1) * exp(2μ + σ²)