Distribución Muestral de la Proporción Muestral

Analiza las propiedades y probabilidades de la distribución muestral de una proporción muestral.

Ingresa la proporción poblacional y el tamaño de la muestra para entender las características de la distribución. También puedes calcular probabilidades para una proporción muestral específica.

Cálculo de Probabilidad

Ejemplos

Usa estos ejemplos para ver cómo funciona la calculadora.

Encuesta Electoral

election-poll

Un encuestador político quiere conocer la distribución muestral para un candidato que tiene 55% de apoyo en la población, basado en una muestra de 500 votantes.

p: 0.55, n: 500

p̂: 0.58

Control de Calidad de Manufactura

quality-control

Una fábrica produce bombillas, y se sabe que 5% son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 200 bombillas, más del 7% sean defectuosas?

p: 0.05, n: 200

p̂: 0.07

Investigación de Mercado

market-research

Una empresa cree que 30% de los consumidores prefieren su producto. Encuestan a 150 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea menor que 0.25?

p: 0.30, n: 150

p̂: 0.25

Ejemplo de Tamaño de Muestra Pequeño

low-sample-size

Un ejemplo que demuestra un escenario donde las condiciones de normalidad no se cumplen. Un investigador estudia una enfermedad rara (1% de la población) con una muestra pequeña de 40.

p: 0.01, n: 40

p̂: 0.02

Otros Títulos
Entendiendo la Distribución Muestral de la Proporción Muestral
Una Guía Completa de un Concepto Estadístico Fundamental

1. ¿Qué es la Distribución Muestral de la Proporción Muestral?

  • Conceptos Básicos
  • Características Clave
  • Teorema del Límite Central
La distribución muestral de la proporción muestral es una distribución teórica que describe los posibles valores de la proporción muestral (p̂) de todas las posibles muestras aleatorias de un tamaño dado (n) extraídas de una población. Es un concepto fundamental en estadística inferencial, permitiéndonos hacer inferencias sobre una proporción poblacional basándonos en una sola muestra.
Características Clave
Tres características principales definen esta distribución: su media, su desviación estándar (error estándar), y su forma.
Media (μp̂): La media de todas las posibles proporciones muestrales es igual a la verdadera proporción poblacional (p). Esto significa que p̂ es un estimador insesgado de p.
Error Estándar (σp̂): Esto mide la desviación típica de las proporciones muestrales de la proporción poblacional. La fórmula es σp̂ = √[p(1-p)/n]. Un error estándar más pequeño implica que las proporciones muestrales probablemente estén cerca de la proporción poblacional.
Forma: Según el Teorema del Límite Central, la forma de la distribución muestral es aproximadamente Normal, siempre que se cumplan ciertas condiciones (np ≥ 10 y n(1-p) ≥ 10).

2. Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora

  • Entrada de Datos
  • Interpretación de Resultados
  • Verificación de Normalidad
Esta calculadora simplifica el proceso de analizar la distribución muestral. Sigue estos pasos para un análisis preciso:
Ingresando los Datos
Proporción Poblacional (p): Ingresa la proporción conocida o asumida de la población. Debe ser un decimal entre 0 y 1 (ej., ingresa 0.65 para 65%).
Tamaño de Muestra (n): Ingresa el número total de elementos en tu muestra. Debe ser un número entero positivo.
Proporción Muestral (p̂) (Opcional): Si quieres encontrar la probabilidad asociada con una proporción muestral específica, ingresa ese valor aquí. También debe ser un decimal entre 0 y 1.
Interpretando los Resultados
Después de hacer clic en 'Calcular', recibirás:
Media (μp̂): El valor esperado de la proporción muestral.
Error Estándar (σp̂): La desviación estándar de la distribución muestral.
Verificación de Condición de Normalidad: La calculadora verifica si np y n(1-p) son ambos al menos 10. Un estado 'Aprobado' indica que la aproximación normal es confiable.
Puntuación Z: Si ingresaste una proporción muestral (p̂), esta es su puntuación estandarizada, indicando cuántos errores estándar está de la media.
Probabilidades: La calculadora proporciona la probabilidad acumulativa P(p̂ < X) y la probabilidad de supervivencia P(p̂ > X) para tu proporción muestral dada.

3. Aplicaciones del Mundo Real

  • Encuestas Políticas
  • Control de Calidad
  • Investigación Médica
Este concepto no es solo teórico; se aplica en muchos campos para tomar decisiones basadas en datos.
Encuestas Políticas
Los encuestadores encuestan una muestra de votantes para estimar la proporción de toda la población que apoya a un candidato. El error estándar les ayuda a construir un margen de error para su predicción.
Control de Calidad
Un fabricante prueba una muestra de productos para ver qué proporción es defectuosa. La distribución muestral ayuda a determinar si la tasa de defectos en un lote particular es inusualmente alta comparada con el estándar de producción general.
Investigación Médica
Los investigadores prueban un nuevo medicamento en una muestra de pacientes para estimar la proporción de todos los pacientes que serán curados. Esto les ayuda a determinar la efectividad del medicamento y si los resultados observados son estadísticamente significativos.

4. Conceptos Erróneos Comunes

  • Desviación Estándar vs. Error Estándar
  • Suposición de Normalidad
  • Corrección de Población Finita
Entender las trampas comunes puede ayudar a asegurar la aplicación correcta del concepto.
Confundir Desviación Estándar y Error Estándar
La desviación estándar de la población (σ) mide la variabilidad dentro de la población. El error estándar de la proporción (σp̂) mide la variabilidad de las proporciones muestrales alrededor de la proporción poblacional. Es una medida del error de muestreo.
Asumir Normalidad
La distribución muestral es solo aproximadamente normal si se cumplen las condiciones (np ≥ 10 y n(1-p) ≥ 10). Para muestras pequeñas o proporciones cercanas a 0 o 1, la distribución está sesgada, y usar una aproximación normal puede llevar a probabilidades incorrectas. En tales casos, métodos como la distribución binomial son más apropiados.
Ignorar el 'Factor de Corrección de Población Finita'
La fórmula σp̂ = √[p(1-p)/n] asume muestreo con reemplazo o de una población infinita. Si el tamaño de la muestra (n) es más del 5% del tamaño total de la población (N), se debe usar un factor de corrección. Esta calculadora asume que la muestra es menos del 5% de la población.

5. Derivación Matemática

  • Derivando la Media
  • Derivando el Error Estándar
  • Base Binomial
Las propiedades de la distribución muestral se derivan de la distribución binomial.
Derivando la Media
Sea X una variable aleatoria binomial que representa el número de éxitos en una muestra de tamaño n. La media de X es E[X] = np. La proporción muestral es p̂ = X/n. La media de p̂ es E[p̂] = E[X/n] = (1/n)E[X] = (1/n)(np) = p.
Derivando el Error Estándar
La varianza de una variable aleatoria binomial es Var(X) = np(1-p). La varianza de la proporción muestral es Var(p̂) = Var(X/n) = (1/n²)Var(X) = (1/n²)(np(1-p)) = p(1-p)/n. La desviación estándar (error estándar) es la raíz cuadrada de la varianza, así que σp̂ = √[p(1-p)/n].