Calculadora de Distribución Normal

Distribuciones y Modelos Estadísticos

Esta herramienta te ayuda a calcular probabilidades y valores asociados con la distribución normal (Gaussiana). Puedes encontrar la densidad de probabilidad (PDF), probabilidad acumulativa (CDF) para un valor dado, o la probabilidad de que un valor caiga dentro de un rango específico.

Ejemplos

Explora algunos casos de uso comunes para la Calculadora de Distribución Normal.

Probabilidad de Puntuación de CI

Menor Que

Calcula la probabilidad de que una persona tenga una puntuación de CI menor a 120, dado que la media es 100 y la desviación estándar es 15.

μ: 100, σ: 15

x: 120

Movimiento del Precio de Acciones

Mayor Que

Encuentra la probabilidad de que el precio de una acción exceda $55 el próximo mes, asumiendo que el precio medio es $50 con una desviación estándar de $5.

μ: 50, σ: 5

x: 55

Puntuaciones de Examen de Estudiantes

Entre

Determina el porcentaje de estudiantes que obtuvieron puntuaciones entre 75 y 90 en un examen donde la puntuación promedio fue 80 y la desviación estándar fue 5.

μ: 80, σ: 5

a: 75, b: 90

Distribución Normal Estándar

Menor Que

Usando la distribución normal estándar (μ=0, σ=1), encuentra la probabilidad acumulativa para una puntuación Z de 1.96.

μ: 0, σ: 1

x: 1.96

Otros Títulos
Entendiendo la Distribución Normal: Una Guía Completa
Sumérgete en los conceptos, aplicaciones y matemáticas detrás de la distribución más importante en estadística.

¿Qué es la Distribución Normal?

  • La Curva de Campana
  • Características Clave
  • La Distribución Normal Estándar
La distribución normal, también conocida como distribución gaussiana, es una distribución de probabilidad continua caracterizada por su curva simétrica en forma de campana. Es la distribución más prominente en estadística y es fundamental para muchas teorías y métodos estadísticos. Un vasto número de fenómenos naturales, desde las alturas humanas hasta los errores de medición, tienden a seguir esta distribución.
Características Clave
La forma y posición de la distribución normal están determinadas por dos parámetros: la media (μ) y la desviación estándar (σ). La media representa el punto central de la distribución, donde se encuentra el pico de la curva de campana. La desviación estándar mide la dispersión o dispersión de los puntos de datos alrededor de la media. Una desviación estándar más pequeña resulta en una curva más estrecha y alta, mientras que una desviación estándar más grande conduce a una curva más ancha y baja.
La Distribución Normal Estándar
Un caso especial de la distribución normal es la distribución normal estándar, que tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1. Cualquier distribución normal puede convertirse a una distribución normal estándar usando la fórmula de puntuación Z: Z = (X - μ) / σ. Esta estandarización permite la comparación de puntuaciones de diferentes distribuciones normales y simplifica los cálculos de probabilidad.

Propiedades Clave:

  • Simétrica alrededor de la media (μ).
  • La media, mediana y moda son todas iguales.
  • El área total bajo la curva es igual a 1 (o 100%).

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Distribución Normal

  • Seleccionando el Tipo de Cálculo
  • Ingresando Parámetros
  • Interpretando los Resultados
Esta calculadora está diseñada para facilitar su uso. Sigue estos pasos para realizar tus cálculos:
1. Selecciona Tu Tipo de Cálculo
Elige qué quieres calcular desde el menú desplegable: P(X < x) para la probabilidad de que un valor sea menor que x, P(X > x) para la probabilidad de que un valor sea mayor que x, o P(a < X < b) para la probabilidad de que un valor caiga entre dos puntos.
2. Ingresa los Parámetros de la Distribución
Ingresa la Media (μ) y la Desviación Estándar (σ) de tu conjunto de datos. La desviación estándar debe ser un número positivo.
3. Proporciona el(los) Valor(es) de Interés
Dependiendo de tu selección en el paso 1, ingresa el valor para 'x', o los límites inferior y superior 'a' y 'b'.
4. Interpreta los Resultados
La calculadora proporcionará la(s) puntuación(es) Z para tus valores de entrada, el valor de la función de densidad de probabilidad (PDF), y la probabilidad acumulativa calculada. La puntuación Z te dice cuántas desviaciones estándar tu valor está de la media, mientras que el resultado de probabilidad te da la probabilidad según tu tipo de cálculo elegido.

Aplicaciones del Mundo Real de la Distribución Normal

  • Control de Calidad en Manufactura
  • Finanzas y Economía
  • Ciencias Naturales y Sociales
La aplicabilidad de la distribución normal abarca numerosos campos.
Control de Calidad
En la manufactura, las dimensiones de los productos (como el diámetro de un tornillo) a menudo siguen una distribución normal. Las empresas usan esto para establecer límites de tolerancia y determinar la probabilidad de que un producto sea defectuoso.
Finanzas
Los rendimientos de los activos a menudo se asumen como normalmente distribuidos, lo cual es una piedra angular de modelos como el modelo de valoración de opciones Black-Scholes. Ayuda en la evaluación de riesgos y el modelado de movimientos futuros de precios.
Ciencias Naturales y Sociales
Muchas mediciones biológicas (altura, peso, presión arterial) y métricas psicológicas (puntuaciones de CI, resultados de exámenes) están aproximadamente normalmente distribuidas. Esto permite a los investigadores definir rangos 'normales' e identificar valores atípicos.

Escenario de Ejemplo: Puntuaciones de Examen

  • Si las puntuaciones de examen en una clase grande están normalmente distribuidas con una media de 75 y una desviación estándar de 10, un maestro puede calcular el porcentaje de estudiantes que obtendrán puntuaciones por encima de 90 (grado A) o por debajo de 60 (reprobado).

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • No Todos los Datos son Normales
  • El Significado del PDF
  • La Simetría es Clave
Suposición de Normalidad
Un error común es asumir que todos los conjuntos de datos están normalmente distribuidos. Aunque muchos lo están, es crucial probar la normalidad primero usando métodos como histogramas o pruebas estadísticas (ej., Shapiro-Wilk). Aplicar principios de distribución normal a datos no normales puede llevar a conclusiones incorrectas.
Interpretando el PDF
El valor de la Función de Densidad de Probabilidad (PDF) no es una probabilidad en sí misma. Para una distribución continua, la probabilidad de cualquier punto exacto individual es cero. El PDF representa la probabilidad relativa de un valor. La probabilidad se encuentra calculando el área bajo la curva (la integral) sobre un rango, que es lo que hace la Función de Distribución Acumulativa (CDF).
Importancia de la Simetría
La simetría de la distribución normal es una propiedad fundamental. Para una distribución normal estándar, P(Z < -z) es igual a P(Z > z). Esta simetría simplifica muchos cálculos.

Derivación Matemática y Fórmulas

  • La Fórmula del PDF
  • La Transformación de Puntuación Z
  • La Función de Distribución Acumulativa (CDF)
Función de Densidad de Probabilidad (PDF)
La fórmula para el PDF de una distribución normal es: f(x) = (1 / (σ √(2π))) e^(-(x - μ)² / (2σ²)), donde μ es la media, σ es la desviación estándar, y e es el número de Euler (≈2.718). Esta calculadora usa esta fórmula para determinar la altura de la curva en un punto específico x.
Fórmula de Puntuación Z
Para estandarizar un valor de cualquier distribución normal, usamos: Z = (X - μ) / σ. Esto nos da una puntuación Z que puede usarse con la distribución normal estándar (μ=0, σ=1).
Función de Distribución Acumulativa (CDF)
La CDF, que da P(X ≤ x), no tiene una expresión cerrada simple. Se calcula integrando el PDF. Computacionalmente, a menudo se aproxima usando la función de error (erf): Φ(z) = 0.5 * (1 + erf(z / √2)), donde z es la puntuación Z. Nuestra calculadora usa un método numérico preciso para calcular este valor.