Distribución Normal Inversa

Encuentra el valor x correspondiente a una probabilidad (área) dada bajo la curva normal.

Ingresa la media, desviación estándar y probabilidad acumulativa para encontrar el valor x correspondiente para distribuciones de cola izquierda, derecha o de dos colas.

Ejemplos

Explora diferentes escenarios para entender cómo funciona la calculadora.

Distribución Normal Estándar (Puntuación Z)

Cola Izquierda Normal Estándar

Encuentra la puntuación Z para la cual el 95% de la distribución está a la izquierda.

μ: 0, σ: 1

P: 0.95, Cola: Cola Izquierda

Top 2% de Puntuaciones de CI

Puntuaciones de CI Cola Derecha

Encuentra la puntuación mínima de CI para estar en el top 2%, dado una media de 100 y una desviación estándar de 15.

μ: 100, σ: 15

P: 0.02, Cola: Cola Derecha

Tolerancia de Manufactura

Tolerancia de Manufactura

Encuentra el rango de tolerancia que incluye el 99% central de productos, con una longitud media de 50cm y una desviación estándar de 0.5cm.

μ: 50, σ: 0.5

P: 0.99, Cola: Dos Colas (Centro)

Bottom 10% de Puntuaciones de Examen

Puntuaciones de Examen

Encuentra la puntuación máxima para el bottom 10% de estudiantes, con una puntuación media de 75 y una desviación estándar de 8.

μ: 75, σ: 8

P: 0.10, Cola: Cola Izquierda

Otros Títulos
Entendiendo la Distribución Normal Inversa: Una Guía Completa
Una inmersión profunda en los conceptos, aplicaciones y matemáticas detrás de encontrar un valor desde una probabilidad conocida en una distribución normal.

¿Qué es la Distribución Normal Inversa?

  • De Probabilidad a Valor
  • El Rol de la Media y Desviación Estándar
  • Terminología Clave: Función Cuantil y Función de Punto Percentil
La distribución normal inversa, también conocida como la función cuantil o la función de punto percentil, funciona al revés de la función de distribución acumulativa estándar (CDF). Mientras que la CDF toma un valor (x) y te da la probabilidad acumulativa hasta ese punto, la distribución normal inversa toma una probabilidad acumulativa (área bajo la curva) y te da el valor x correspondiente.
Esto es increíblemente útil cuando conoces un cierto percentil o probabilidad y necesitas encontrar el punto de datos específico asociado con él. Por ejemplo, si quieres saber la puntuación del examen que separa al top 10% de estudiantes, usarías la distribución normal inversa.
El Rol de la Media y Desviación Estándar
Cualquier distribución normal está definida por dos parámetros: su media (μ) y su desviación estándar (σ). La media determina el centro de la curva de campana, y la desviación estándar determina su dispersión o ancho. El cálculo normal inverso depende de estos dos parámetros para transformar una probabilidad de la distribución normal estándar (donde μ=0, σ=1) a la distribución específica con la que estás trabajando.

Ejemplos Conceptuales:

  • Si se ingresa una probabilidad de 0.5, la calculadora devolverá la media de la distribución, ya que la media es el percentil 50.
  • Para una distribución normal estándar (μ=0, σ=1), una probabilidad de cola izquierda de 0.8413 corresponde a un valor x (o puntuación Z) de aproximadamente 1.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora

  • Ingresando Tus Datos
  • Eligiendo el Tipo de Cola Correcto
  • Interpretando los Resultados
1. Ingresando Tus Datos
Ingresa la media (μ) y desviación estándar (σ) de tu distribución normal. Si estás trabajando con una distribución normal estándar (puntuaciones Z), usa una media de 0 y una desviación estándar de 1. Luego, ingresa la probabilidad acumulativa (área). Este valor debe estar entre 0 y 1.
2. Eligiendo el Tipo de Cola Correcto
Este es un paso crucial. El tipo de cola le dice a la calculadora cómo interpretar la probabilidad que proporcionaste:
Cola Izquierda: Selecciona esto si tu probabilidad representa el área a la izquierda del valor x desconocido (P(X < x)). Esto se usa para encontrar percentiles.
Cola Derecha: Selecciona esto si tu probabilidad representa el área a la derecha del valor x desconocido (P(X > x)). Esto se usa para encontrar cortes de 'porcentaje superior'.
Dos Colas (Centro): Selecciona esto si tu probabilidad representa el área central entre dos valores x desconocidos (P(x1 < X < x2)). La calculadora encuentra los dos valores x que delimitan esta región central.
3. Interpretando los Resultados
La calculadora proporciona el(los) Valor(es) X que corresponden a tu probabilidad de entrada. También proporciona la Puntuación Z, que te dice cuántas desviaciones estándar el Valor X resultante está de la media. Para cálculos de dos colas, proporcionará los límites inferior y superior (x1 y x2).

Aplicaciones del Mundo Real

  • Finanzas y Gestión de Riesgos
  • Control de Calidad en Manufactura
  • Pruebas Educativas y Psicológicas
Finanzas y Gestión de Riesgos
Los analistas financieros usan la distribución normal inversa para estimar el Valor en Riesgo (VaR). Al especificar una probabilidad (ej., 5%), pueden calcular la pérdida potencial máxima en una inversión durante un período dado. Por ejemplo, 'Estamos 95% seguros de que nuestras pérdidas no excederán $1 millón en el próximo día de trading.'
Control de Calidad en Manufactura
Los ingenieros determinan límites de especificación para un producto. Si un fabricante quiere que el 99% de sus productos estén dentro de un cierto rango de peso, pueden usar la distribución normal inversa para encontrar los límites exactos de peso que corresponden al 99% central de su proceso de producción.
Pruebas Educativas y Psicológicas
Las pruebas estandarizadas como el SAT o las pruebas de CI a menudo tienen puntuaciones que están normalmente distribuidas. La función normal inversa se puede usar para determinar la puntuación requerida para estar en un cierto percentil, por ejemplo, la puntuación necesaria para estar en el top 1% de examinados para una beca.

Derivación Matemática y Fórmula

  • La Distribución Normal Estándar (Distribución Z)
  • La Función Cuantil (Φ⁻¹)
  • Convirtiendo de Z a X
El cálculo se basa en la distribución normal estándar, que tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1. La variable para esta distribución se llama puntuación Z.
La Fórmula
El núcleo de la calculadora es la función cuantil normal estándar, denotada como Φ⁻¹(p), donde 'p' es la probabilidad. No hay una fórmula algebraica simple para esta función; se calcula usando algoritmos de aproximación numérica (como la aproximación de Acklam usada por esta calculadora).
Una vez que se encuentra la puntuación Z desde la probabilidad (Z = Φ⁻¹(p)), se convierte al valor x de tu distribución específica usando la fórmula de conversión estándar:
X = μ + Z * σ
Donde: X es el valor en tu distribución, μ es la media, σ es la desviación estándar, y Z es la puntuación Z calculada.

Ejemplo de Cálculo Paso a Paso

  • Problema: Encuentra el corte para el top 10% de puntuaciones de examen donde la media es 70 y la desviación estándar es 5.
  • 1. Tipo de Cola: Este es un problema de cola derecha porque queremos el 'porcentaje superior'.
  • 2. Probabilidad para Z: El área a la izquierda del corte es 1 - 0.10 = 0.90.
  • 3. Encuentra Z: Necesitamos encontrar Z tal que P(Z < z) = 0.90. Usando la función cuantil, Z ≈ 1.282.
  • 4. Convierte a X: X = 70 + 1.282 * 5 = 70 + 6.41 = 76.41. La puntuación necesaria es aproximadamente 76.41.