Regresión Polinomial

Modelos de Regresión y Predicción

Ingresa tus puntos de datos y el grado polinomial deseado para calcular la ecuación de regresión.

Ejemplos Prácticos

Explora diferentes escenarios para ver cómo funciona la Calculadora de Regresión Polinomial.

Ajuste Cuadrático (Grado 2)

Cuadrática

Una relación cuadrática simple, común en física para movimiento de proyectiles.

Grado: 2

Puntos: 0,1; 1,2.5; 2,5; 3,8.5; 4,13

Ajuste Cúbico (Grado 3)

Cúbica

Modelado de curvas más complejas, como relaciones de tensión-deformación de materiales.

Grado: 3

Puntos: -2,-10; -1,0; 0,2; 1,4; 2,18

Ajuste de Alto Grado (Grado 4)

Alto Grado

Ajuste de un conjunto de datos más volátil, como el crecimiento poblacional a lo largo del tiempo.

Grado: 4

Puntos: 1,3; 2,5; 3,4; 4,6; 5,8; 6,7

Ajuste Lineal Simple (Grado 1)

Lineal

Una tendencia lineal básica. El resultado debe ser una ecuación de línea recta.

Grado: 1

Puntos: 1,2; 2,4.1; 3,5.9; 4,8.2; 5,10

Otros Títulos
Entendiendo la Regresión Polinomial: Una Guía Completa
Una mirada profunda a la regresión polinomial, sus aplicaciones y las matemáticas detrás de ella.

¿Qué es la Regresión Polinomial?

  • De Lineal a Polinomial
  • El Concepto Central
  • ¿Por Qué Usarla?
La regresión polinomial es un tipo de análisis de regresión donde la relación entre la variable independiente 'x' y la variable dependiente 'y' se modela como un polinomio de grado n en 'x'. Mientras que la regresión lineal modela datos con una línea recta, la regresión polinomial puede ajustar relaciones más complejas y no lineales creando una línea curva.
La Ecuación Polinomial
La forma general de una ecuación polinomial de grado 'n' es: y = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ. El objetivo de la regresión es encontrar los valores óptimos para los coeficientes (a₀, a₁, ..., aₙ) que minimicen el error entre los valores 'y' predichos y reales.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora

  • Ingresando Tus Datos
  • Eligiendo el Grado Correcto
  • Interpretando los Resultados
1. Ingresa los Puntos de Datos
Ingresa tus pares de coordenadas (x, y) en el área de texto 'Puntos de Datos'. Cada par debe estar en una nueva línea (ej., '1, 5') o separado por punto y coma ('1, 5; 2, 8'). Asegúrate de que los datos estén limpios y correctamente formateados.
2. Selecciona el Grado Polinomial
Elige el grado del polinomio que quieres ajustar. Un grado de 1 es un ajuste lineal. Un grado de 2 es cuadrático. Grados más altos crean curvas más complejas. Ten cuidado con grados altos, ya que pueden llevar a sobreajuste.
3. Haz Predicciones
Opcionalmente, ingresa un valor para 'x' en el campo de predicción para calcular el 'y' correspondiente basado en la ecuación resultante.
4. Analiza la Salida
La calculadora proporciona la ecuación de regresión, el valor R-cuadrado y tu valor 'y' predicho. El valor R-cuadrado (de 0 a 1) te dice qué tan bien el modelo se ajusta a tus datos.

Aplicaciones del Mundo Real

  • Economía y Finanzas
  • Ingeniería y Física
  • Biología y Ciencias Ambientales
La regresión polinomial se usa ampliamente en varios campos para modelar fenómenos no lineales.
Ejemplos:
  • Tasas de Crecimiento: Modelado del crecimiento de poblaciones, inversiones o enfermedades que no siguen una tendencia lineal.
  • Ciencia de Materiales: Análisis de la curva de tensión-deformación de materiales.
  • Análisis de Mercado: Predicción de precios de acciones o tendencias de ventas que exhiben patrones cíclicos o curvos.

Trampas Comunes y Mejores Prácticas

  • El Peligro del Sobreajuste
  • Eligiendo el Grado Óptimo
  • Riesgos de Extrapolación
Sobreajuste
Usar un grado polinomial demasiado alto puede llevar a sobreajuste. El modelo se ajustará perfectamente a los datos de entrenamiento pero fallará al generalizar a nuevos datos no vistos. El valor R-cuadrado podría ser alto, pero el modelo no es útil. A menudo es mejor elegir el modelo más simple (grado más bajo) que describa adecuadamente los datos.
Extrapolación
Ten cuidado al hacer predicciones para valores 'x' muy fuera del rango de tus datos originales. Los modelos polinomiales pueden comportarse erráticamente y producir resultados poco realistas al extrapolar.

Derivación Matemática

  • El Método de Mínimos Cuadrados
  • Construyendo el Sistema de Ecuaciones
  • Resolviendo para Coeficientes
El Método de Mínimos Cuadrados
La regresión polinomial usa el método de mínimos cuadrados para encontrar los coeficientes. Este método minimiza la suma de los cuadrados de los residuos (las diferencias entre los valores observados y los valores predichos por el modelo). La función de error S es: S = Σ(yᵢ - (a₀ + a₁xᵢ + ... + aₙxᵢⁿ))²
Ecuaciones Normales
Para minimizar S, tomamos la derivada parcial con respecto a cada coeficiente (a₀, a₁, ..., aₙ) y las igualamos a cero. Esto resulta en un sistema de (n+1) ecuaciones lineales, conocidas como las ecuaciones normales. Estas ecuaciones se pueden expresar en forma matricial como (XᵀX)A = XᵀY, donde X es la matriz de Vandermonde de los valores x, Y es el vector de valores y, y A es el vector de coeficientes que queremos encontrar. La calculadora resuelve este sistema para encontrar la ecuación de mejor ajuste.