El fundamento matemático de la probabilidad de lanzamiento de moneda descansa en combinatoria, teoría de distribución binomial, y conceptos estadísticos avanzados que proporcionan herramientas analíticas precisas para escenarios de probabilidad complejos.
Derivación del Coeficiente Binomial:
El coeficiente binomial C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) representa el número de formas de elegir k elementos de n elementos sin considerar el orden. En lanzamientos de moneda, esto cuenta el número de secuencias con exactamente k caras en n lanzamientos.
Por ejemplo, C(4,2) = 4!/(2!2!) = 6 representa las seis formas de obtener exactamente 2 caras en 4 lanzamientos: CCTT, CTCT, CTTC, TCCT, TCTC, TTCC.
La fórmula completa de probabilidad binomial P(X = k) = C(n,k) × (0.5)^n considera tanto el número de secuencias favorables como la probabilidad de que ocurra cada secuencia específica.
Aproximación Normal para Muestras Grandes:
Cuando n es grande (típicamente n > 30), la distribución binomial se aproxima a una distribución normal con media μ = np y varianza σ² = np(1-p). Para monedas justas, μ = n/2 y σ² = n/4.
Esta aproximación usa el Teorema del Límite Central y permite el cálculo eficiente de probabilidades usando puntuaciones z: Z = (X - μ)/σ, donde X es el número de caras observadas.
La corrección de continuidad mejora la precisión de la aproximación tratando valores discretos como continuos: P(X = k) ≈ P(k-0.5 < X < k+0.5) en la distribución normal.
Cálculos de Probabilidad Avanzados:
Las probabilidades acumulativas P(X ≤ k) requieren sumar probabilidades individuales: P(X ≤ k) = Σ(i=0 a k) C(n,i) × (0.5)^n. Para n grande, esto se vuelve computacionalmente intensivo sin aproximación normal.
Las probabilidades de cola P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1) a menudo proporcionan caminos de cálculo más eficientes, especialmente cuando k está cerca de n.
Los intervalos de confianza para la probabilidad verdadera p pueden construirse usando la proporción observada p̂ = X/n y el error estándar SE = √(p̂(1-p̂)/n), proporcionando límites para el sesgo real de la moneda.
Pruebas de Hipótesis Estadísticas:
Probar la justicia de una moneda involucra hipótesis nula H₀: p = 0.5 contra alternativa H₁: p ≠ 0.5. La estadística de prueba Z = (p̂ - 0.5)/√(0.25/n) sigue una distribución normal estándar bajo H₀.
Los valores críticos dependen del nivel de significancia elegido α (comúnmente 0.05), con regiones de rechazo determinadas por |Z| > Z{α/2}, donde Z{0.025} ≈ 1.96 para α = 0.05.