El fundamento matemático del lanzamiento de monedas involucra teoría de distribución binomial, funciones de masa de probabilidad y pruebas de hipótesis. Entender estos conceptos permite análisis estadístico riguroso de resultados experimentales.
Matemáticas de Distribución Binomial:
Para n lanzamientos de monedas con probabilidad p de cara, el número de caras sigue una distribución binomial: P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k), donde C(n,k) representa combinaciones. El valor esperado es μ = np, y la varianza es σ² = np(1-p).
Para una moneda justa (p = 0.5) con 100 lanzamientos, esperamos μ = 50 caras con desviación estándar σ = √25 = 5. Esto significa que aproximadamente 68% de los ensayos producirán 45-55 caras, y 95% producirán 40-60 caras.
Prueba de Bondad de Ajuste Chi-Cuadrado:
Para probar la justicia de la moneda, calcula χ² = Σ[(observado - esperado)²/esperado]. Para una moneda justa: χ² = [(caras - n/2)² + (cruces - n/2)²]/(n/4). Valores significativamente mayores que 1 sugieren sesgo.
Los valores críticos dependen del nivel de significancia (α = 0.05 típicamente) y grados de libertad (df = 1 para lanzamientos de monedas). Si χ² > 3.84, rechazamos la hipótesis nula de justicia al nivel de significancia del 5%.
Intervalos de Confianza y Estimación:
El intervalo de confianza del 95% para la verdadera probabilidad de cara es: p̂ ± 1.96√[p̂(1-p̂)/n], donde p̂ es la proporción observada. Este intervalo contiene la verdadera probabilidad con 95% de confianza.
Los cálculos de tamaño de muestra determinan cuántos lanzamientos se necesitan para detectar sesgo de una magnitud específica. Para detectar un sesgo del 10% (p = 0.6 en lugar de 0.5) con 90% de potencia requiere aproximadamente 200-300 lanzamientos.