Calculadora de la Paradoja de Bertrand - Resuelve Problemas de Probabilidad Condicional

¿Qué es la Paradoja de Bertrand?

Los Orígenes de la Paradoja
Fundamento Matemático
Por Qué Es Contraintuitiva

La Paradoja de Bertrand, descrita por primera vez por Joseph Bertrand en 1889, es un problema clásico en la teoría de probabilidad que demuestra cómo nuestra intuición sobre la probabilidad condicional puede ser engañosa. La paradoja involucra tres cajas con diferentes configuraciones de bolas doradas y plateadas, y nos pide calcular la probabilidad de que una segunda bola sea dorada, dado que la primera bola extraída fue dorada.

La Configuración Clásica

En la formulación original, hay tres cajas: la Caja 1 contiene dos bolas doradas, la Caja 2 contiene una bola dorada y una plateada, y la Caja 3 contiene dos bolas plateadas. Se elige una caja al azar, y luego se extrae una bola de esa caja. Si la primera bola es dorada, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda bola de la misma caja también sea dorada?

Muchas personas inicialmente piensan que la respuesta es 1/2 (50%), razonando que como sabemos que la bola vino de la Caja 1 o la Caja 2 (la Caja 3 se elimina), y estas parecen igualmente probables, hay un 50% de probabilidad de que vino de la Caja 1 (lo que haría que la segunda bola definitivamente fuera dorada) y un 50% de probabilidad de que vino de la Caja 2 (lo que haría que la segunda bola definitivamente fuera plateada).

Configuraciones Clásicas de Cajas

Caja 1: DD (2 bolas doradas)
Caja 2: DP (1 dorada, 1 plateada)
Caja 3: PP (2 bolas plateadas)

Guía Paso a Paso para Resolver la Paradoja

Aplicando el Teorema de Bayes
Cálculo de Probabilidad Condicional
Conceptos Erróneos Comunes

El Enfoque Matemático Correcto

La clave es que no todas las bolas doradas son igualmente probables de ser extraídas. La Caja 1 tiene dos bolas doradas, por lo que hay dos formas de extraer una bola dorada de ella, mientras que la Caja 2 tiene solo una bola dorada, por lo que hay solo una forma de extraer una bola dorada de ella. Esto significa que dado que extrajimos una bola dorada, es dos veces más probable que haya venido de la Caja 1.

Usando el teorema de Bayes, podemos calcular: P(Caja 1 | Bola dorada extraída) = P(Bola dorada | Caja 1) × P(Caja 1) / P(Bola dorada). Como cada caja es igualmente probable de ser elegida inicialmente (probabilidad 1/3), y la probabilidad de extraer dorada de la Caja 1 es 1, de la Caja 2 es 1/2, y de la Caja 3 es 0, obtenemos:

P(Bola dorada) = (1/3 × 1) + (1/3 × 1/2) + (1/3 × 0) = 1/3 + 1/6 = 1/2

Por lo tanto: P(Caja 1 | Bola dorada) = (1 × 1/3) / (1/2) = 2/3, y P(Caja 2 | Bola dorada) = (1/2 × 1/3) / (1/2) = 1/3

Como la segunda bola es definitivamente dorada si estamos en la Caja 1 y definitivamente plateada si estamos en la Caja 2, la probabilidad de que la segunda bola sea dorada es 2/3 × 1 + 1/3 × 0 = 2/3 o aproximadamente 66.67%.

Resultados Clave de Probabilidad

P(Segunda bola es dorada) = 2/3 ≈ 66.67%
P(Caja 1 | Dorada extraída) = 2/3
P(Caja 2 | Dorada extraída) = 1/3

Aplicaciones del Mundo Real de la Paradoja de Bertrand

Diagnóstico Médico y Pruebas
Control de Calidad en Manufactura
Evaluación de Riesgo Financiero

Aplicaciones Médicas

Los principios detrás de la Paradoja de Bertrand son cruciales en el diagnóstico médico. Cuando un paciente da positivo en una prueba de enfermedad, la probabilidad de que realmente tenga la enfermedad depende no solo de la precisión de la prueba, sino también de la prevalencia de la enfermedad en la población. Esto es exactamente análogo a cómo la probabilidad de extraer de la Caja 1 depende de los números relativos de bolas doradas en cada caja.

Control de Calidad

En la manufactura, cuando se encuentra un producto defectuoso, determinar de qué línea de producción proviene requiere un razonamiento similar de probabilidad condicional. Si diferentes líneas de producción tienen diferentes tasas de defectos, la línea con tasas de defectos más altas es más probable que sea la fuente de cualquier artículo defectuoso particular.

Esta paradoja también aparece en el aprendizaje automático y la ciencia de datos, particularmente en problemas de clasificación donde necesitamos entender la probabilidad posterior de pertenencia a una clase dado características observadas.

Aplicaciones Prácticas

Diagnóstico de enfermedad con resultados de prueba positivos
Identificación de fuente de defectos en manufactura
Algoritmos de clasificación en aprendizaje automático

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

La Falacia de Equiprobabilidad
Importancia de la Información Previa
Verificación de Monte Carlo

Por Qué Falla la Intuición

El error más común es asumir que la Caja 1 y la Caja 2 son fuentes igualmente probables de la bola dorada. Esta suposición de equiprobabilidad ignora el hecho de que la Caja 1 tiene el doble de bolas doradas que la Caja 2, haciéndola una fuente más probable de cualquier bola dorada extraída al azar.

Otro concepto erróneo es pensar en esto como una simple elección 50-50 entre dos cajas restantes. La clave es que no estamos eligiendo entre cajas; estamos actualizando nuestras creencias sobre de qué caja extrajimos basándonos en la evidencia (la bola dorada).

Verificación por Simulación

Las simulaciones de Monte Carlo proporcionan una excelente manera de verificar el resultado teórico. Al ejecutar miles de ensayos donde seleccionamos cajas al azar, extraemos bolas y rastreamos resultados, podemos demostrar empíricamente que la probabilidad converge a 2/3 en lugar de 1/2.

Teoría vs. Intuición

Probabilidad teórica: 66.67%
Resultados de simulación típicamente: 66.5% - 66.8%
Respuesta intuitiva (incorrecta): 50%

Derivación Matemática y Ejemplos Avanzados

Aplicación Formal del Teorema de Bayes
Configuraciones de Cajas Generalizadas
Conexión con Otras Paradojas

Tratamiento Matemático Formal

Definamos los eventos formalmente: Sean B₁, B₂, B₃ representando los eventos de que se eligió la Caja 1, 2, o 3, y sea G representando el evento de que se extrajo una bola dorada. Queremos encontrar P(segunda bola es dorada | G).

Usando la ley de probabilidad total: P(G) = P(G|B₁)P(B₁) + P(G|B₂)P(B₂) + P(G|B₃)P(B₃) = 1·(1/3) + (1/2)·(1/3) + 0·(1/3) = 1/2

Por el teorema de Bayes: P(B₁|G) = P(G|B₁)P(B₁)/P(G) = (1·1/3)/(1/2) = 2/3, y P(B₂|G) = P(G|B₂)P(B₂)/P(G) = (1/2·1/3)/(1/2) = 1/3

Generalización a n Cajas

La paradoja puede extenderse a cualquier número de cajas con configuraciones arbitrarias. El principio clave permanece el mismo: las cajas con más bolas doradas son fuentes más probables de cualquier bola dorada observada, proporcionalmente a su conteo de bolas doradas.

Para n cajas con gᵢ bolas doradas y sᵢ bolas plateadas en la caja i, si observamos una bola dorada, la probabilidad de que vino de la caja j es: P(Bⱼ|G) = gⱼ / Σᵢ₌₁ⁿ gᵢ

Fórmulas Matemáticas

P(B₁|G) = 2/3 usando el teorema de Bayes
P(B₂|G) = 1/3 usando el teorema de Bayes
Fórmula general: P(Bⱼ|G) = gⱼ / Σgᵢ

Paradoja Original de Bertrand

Configuración Simétrica

Problema de Cajas Extendido

Paradoja Mínima