Calculadora de Coordenadas Esféricas

Convertir entre coordenadas cartesianas (x,y,z) y esféricas (r, θ, φ)

Selecciona tu tipo de conversión, ingresa las coordenadas y obtén resultados instantáneos y precisos. Esta herramienta es esencial para aplicaciones en física, ingeniería y matemáticas.

Ejemplos

Haz clic en un ejemplo para cargarlo en la calculadora.

Convertir Punto Cartesiano

Cartesianas a Esféricas

Convertir un punto cartesiano estándar a su equivalente esférico.

x: 3

y: 4

z: 5

Punto cartesiano estándar

Punto en el Eje Z

Cartesianas a Esféricas

Convertir un punto que se encuentra directamente en el eje Z.

x: 0

y: 0

z: 10

Punto en el eje Z

Convertir Punto Esférico

Esféricas a Cartesianas

Convertir un punto esférico estándar a su equivalente cartesiano.

r: 10

θ: 60°

φ: 45°

Punto esférico estándar

Punto en el Plano XY

Esféricas a Cartesianas

Convertir un punto esférico donde el ángulo polar es 90 grados.

r: 5

θ: 90°

φ: 30°

Punto en el plano XY

Otros Títulos
Entendiendo las Coordenadas Esféricas: Una Guía Completa
Explora los fundamentos del sistema de coordenadas esféricas y aprende a convertir sin problemas entre representaciones cartesianas y esféricas.

¿Qué son las Coordenadas Esféricas? Conceptos Fundamentales

  • Un sistema 3D que usa distancia y dos ángulos para definir un punto
  • Comprende radio (r), ángulo polar (θ) y ángulo acimutal (φ)
  • Ideal para representar esferas, conos y otras formas simétricas
El sistema de coordenadas esféricas es un marco tridimensional para localizar puntos en el espacio usando una combinación de una distancia y dos ángulos. A diferencia de los ejes lineales (x, y, z) del sistema cartesiano, el sistema esférico ofrece una forma más natural de describir objetos con simetría esférica.
Los Tres Componentes
1. Radio (r): También conocido como la distancia radial, 'r' es la distancia desde el origen (0,0,0) hasta el punto. Siempre es no negativo (r ≥ 0).
2. Ángulo Polar (θ): A menudo llamado inclinación o colatitud, 'θ' (theta) es el ángulo medido desde el eje Z positivo hasta el vector del punto. Su valor varía de 0° a 180° (o de 0 a π radianes).
3. Ángulo Acimutal (φ): También conocido como acimut, 'φ' (phi) es el ángulo medido desde el eje X positivo en el plano XY hasta la proyección del vector del punto en ese plano. Varía de 0° a 360° (o de 0 a 2π radianes).

Ejemplos Clave de Coordenadas

  • Origen: (r=0, θ=indefinido, φ=indefinido)
  • Punto en eje +Z: (r=k, θ=0°, φ=indefinido)
  • Punto en eje +X: (r=k, θ=90°, φ=0°)
  • Punto en eje +Y: (r=k, θ=90°, φ=90°)

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora

  • Selecciona tu dirección de conversión deseada
  • Ingresa las coordenadas conocidas y elige tu unidad de ángulo
  • Interpreta los resultados calculados con precisión
Nuestra calculadora simplifica el proceso de conversión en unos pocos pasos fáciles, asegurando que obtengas resultados precisos rápidamente.
1. Elige el Tipo de Conversión
Comienza seleccionando si quieres convertir de 'Cartesianas a Esféricas' o 'Esféricas a Cartesianas' desde el menú desplegable. Los campos de entrada se ajustarán en consecuencia.
2. Selecciona la Unidad de Ángulo
Elige 'Grados' o 'Radianes' del selector de unidad de ángulo. Esta elección afecta tanto cómo ingresas los ángulos (para Esféricas a Cartesianas) como cómo se muestran los resultados (para Cartesianas a Esféricas).
3. Ingresa Tus Coordenadas
  • Para Cartesianas a Esféricas: Completa los campos de entrada x, y y z.
  • Para Esféricas a Cartesianas: Completa los campos r (radio), θ (ángulo polar) y φ (ángulo acimutal), asegurando que los ángulos coincidan con tu unidad seleccionada.
4. Calcula y Ve los Resultados
Haz clic en el botón 'Calcular'. Las coordenadas convertidas aparecerán en la sección 'Resultado'. Puedes usar el botón 'Reiniciar' para limpiar todos los campos y comenzar un nuevo cálculo.

Ejemplos de Uso Práctico

  • Cartesianas a Esféricas: Entrada x=1, y=1, z=1 con Grados -> r=1.732, θ=54.74°, φ=45°
  • Esféricas a Cartesianas: Entrada r=1, θ=90, φ=90 con Grados -> x=0, y=1, z=0

Derivación Matemática y Fórmulas

  • Las fórmulas de conversión se derivan de la trigonometría
  • Entendiendo la relación entre los dos sistemas
  • Ecuaciones clave para ambas direcciones de conversión
La conversión entre coordenadas cartesianas y esféricas se basa en la trigonometría de triángulos rectos. Al proyectar el punto en el plano XY, podemos formar dos triángulos rectos que relacionan (x, y, z) con (r, θ, φ).
Conversión de Cartesianas a Esféricas
Dado un punto (x, y, z):
  • Radio (r) se encuentra usando el teorema de Pitágoras 3D: r = √(x² + y² + z²)
  • Ángulo Polar (θ) se encuentra usando el arcocoseno de la coordenada z dividida por el radio: θ = arccos(z / r)
  • Ángulo Acimutal (φ) se encuentra usando el arcotangente de y sobre x: φ = arctan(y / x). Se debe tener cuidado para colocar el ángulo en el cuadrante correcto, a menudo usando una función atan2(y, x).
Conversión de Esféricas a Cartesianas
Dado un punto (r, θ, φ):
  • coordenada x: x = r * sin(θ) * cos(φ)
  • coordenada y: y = r * sin(θ) * sin(φ)
  • coordenada z: z = r * cos(θ)

Aplicación de Fórmulas

  • Ejemplo: (x=1, y=√3, z=2). r = √(1² + (√3)² + 2²) = √8 = 2√2. θ = arccos(2 / 2√2) = 45°. φ = arctan(√3 / 1) = 60°.
  • Ejemplo: (r=4, θ=30°, φ=60°). x = 4 * sin(30) * cos(60) = 4 * 0.5 * 0.5 = 1. y = 4 * sin(30) * sin(60) = 4 * 0.5 * (√3/2) = √3. z = 4 * cos(30) = 4 * (√3/2) = 2√3.

Aplicaciones del Mundo Real de las Coordenadas Esféricas

  • Se usa extensivamente en física, ingeniería y geografía
  • Simplifica problemas con simetría esférica
  • Fundamental para GPS, astronomía y modelado 3D
El sistema de coordenadas esféricas no es solo una curiosidad matemática; es una herramienta poderosa utilizada en numerosos campos científicos y técnicos.
Física e Ingeniería
  • Electromagnetismo: Describir campos electromagnéticos y patrones de radiación de antenas es mucho más simple en coordenadas esféricas.
  • Mecánica Cuántica: Las funciones de onda de electrones en átomos (orbitales atómicos) se expresan en coordenadas esféricas.
  • Dinámica de Fluidos: Analizar el flujo de fluidos alrededor de un objeto esférico.
Geografía y Astronomía
  • Sistema de Posicionamiento Global (GPS): El sistema de coordenadas geográficas de la Tierra (latitud y longitud) es una aplicación directa de coordenadas esféricas. La latitud corresponde al ángulo polar (θ) y la longitud al ángulo acimutal (φ).
  • Mapeo Celestial: Los astrónomos usan sistemas de coordenadas celestes, que son análogos a las coordenadas esféricas, para mapear las posiciones de estrellas y galaxias.
Gráficos por Computadora y Robótica
  • Modelado 3D: Se usa para modelar objetos esféricos y crear efectos de iluminación que irradian desde una fuente puntual.
  • Robótica: Definir la posición y orientación de brazos robóticos que tienen articulaciones rotacionales.

Ejemplos de la Industria

  • Diseñar una antena parabólica para enfocar señales.
  • Calcular el campo gravitacional de un planeta.
  • Trazar la ruta de vuelo de un avión intercontinental.

Conceptos Erróneos Comunes y Casos Especiales

  • Aclarando las convenciones para los ángulos θ y φ
  • Manejando ángulos indefinidos en el origen y eje Z
  • Distinguir entre convenciones matemáticas y físicas
Aunque poderoso, el sistema de coordenadas esféricas tiene matices que pueden llevar a confusión. Entender estos es clave para usarlo correctamente.
El Origen (0,0,0)
En el origen cartesiano, el radio r es 0. En este caso, tanto el ángulo polar θ como el ángulo acimutal φ no están definidos porque no hay una dirección vectorial única desde el origen hacia sí mismo.
Puntos en el Eje Z
Para cualquier punto en el eje Z (donde x=0 e y=0), el ángulo acimutal φ no está definido. Esto es porque la proyección del punto en el plano XY es el origen, y no hay un ángulo claro desde el eje X. Por convención, a menudo se establece en 0.
Convención Matemática vs. Física
Es crucial ser consciente de diferentes convenciones. Esta calculadora usa la convención matemática estándar donde θ es la inclinación desde el eje Z y φ es el acimut desde el eje X. En física, los roles de θ y φ a menudo se intercambian, donde θ se convierte en el acimut y φ la inclinación. Siempre verifica la convención que se está usando en tu contexto.

Escenarios de Casos Extremos

  • Entrada: (x=0, y=0, z=5) -> r=5, θ=0°, φ no está definido (a menudo mostrado como 0°).
  • Entrada: (x=0, y=0, z=-5) -> r=5, θ=180°, φ no está definido (a menudo mostrado como 0°).
  • Ten en cuenta: Algunos sistemas definen θ desde el plano XY, no desde el eje Z.