Convertidor de Coordenadas Polares

Cambia sin problemas entre sistemas polares (r, θ) y cartesianos (x, y).

Selecciona el tipo de conversión, ingresa tus coordenadas y obtén resultados instantáneos y precisos. Usa las sugerencias para orientación en cada entrada.

Ejemplos Prácticos

Explora escenarios comunes para entender cómo funciona la calculadora.

Convertir Polar a Cartesiano

Polar a Cartesiano

Una conversión estándar desde una coordenada polar con un ángulo positivo.

Radio (r): 5

Ángulo (θ): 53.13 °

Convertir Cartesiano a Polar

Cartesiano a Polar

Una conversión estándar desde una coordenada cartesiana en el primer cuadrante.

Coordenada X (x): 3

Coordenada Y (y): 4

Convertir con Radianes

Polar a Cartesiano

Usando radianes para el ángulo, una unidad común en matemáticas de nivel superior.

Radio (r): 10

Ángulo (θ): 0.785398 弧度

Convertir con Coordenadas Negativas

Cartesiano a Polar

Convirtiendo desde el tercer cuadrante, donde tanto x como y son negativos.

Coordenada X (x): -1

Coordenada Y (y): -1

Otros Títulos
Entendiendo las Coordenadas Polares: Una Guía Completa
Una inmersión profunda en el Sistema de Coordenadas Polares, su relación con el sistema cartesiano y sus aplicaciones en ciencia e ingeniería.

¿Qué son las Coordenadas Polares y Cartesianas?

  • Definiendo los dos principales sistemas de coordenadas 2D
  • Entendiendo sus componentes fundamentales
  • Diferencias clave y cuándo usar cada uno
En matemáticas, usamos sistemas de coordenadas para determinar únicamente la posición de un punto. Los dos sistemas más comunes para un plano bidimensional son los sistemas de coordenadas cartesianas y polares.
El Sistema de Coordenadas Cartesianas
El sistema cartesiano, nombrado en honor a René Descartes, describe un punto usando dos ejes perpendiculares: el eje horizontal x y el eje vertical y. Un punto se identifica por un par ordenado (x, y), representando sus distancias con signo desde el eje y y el eje x, respectivamente. Esta cuadrícula rectangular es intuitiva para representar relaciones lineales y formas geométricas como cuadrados y rectángulos.
El Sistema de Coordenadas Polares
El sistema polar describe la posición de un punto usando una distancia y un ángulo. Cada punto se identifica por un par ordenado (r, θ), donde 'r' es la distancia radial desde un punto central llamado polo (u origen), y 'θ' (theta) es el ángulo medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde un rayo fijo, el eje polar (generalmente alineado con el eje x positivo).

Representación del Sistema

  • Cartesiano: El punto (3, 4) está 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba.
  • Polar: El punto (5, 53.13°) está a 5 unidades del origen en un ángulo de 53.13 grados.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Coordenadas Polares

  • Seleccionando tu tipo de conversión
  • Ingresando tus valores de coordenadas correctamente
  • Interpretando los resultados calculados con precisión
Esta calculadora simplifica el proceso de conversión. Sigue estos pasos para obtener resultados precisos.
1. Elige Tu Dirección de Conversión
Comienza seleccionando tu conversión deseada desde el menú desplegable 'Tipo de Conversión'. Elige 'Polar a Cartesiano' si tienes valores (r, θ), o 'Cartesiano a Polar' si tienes valores (x, y).
2. Selecciona la Unidad de Ángulo (para Entradas Polares)
Si conviertes de Polar a Cartesiano, debes especificar si tu ángulo (θ) está en 'Grados' o 'Radianes'. La calculadora también devolverá el ángulo en esta unidad seleccionada cuando conviertas de Cartesiano a Polar.
3. Ingresa Tus Coordenadas
Llena los campos de entrada correspondientes basándote en tu tipo de conversión elegido. Asegúrate de que el radio 'r' sea un número no negativo.
4. Calcula y Ve los Resultados
Haz clic en el botón 'Calcular'. Los resultados aparecerán en la tarjeta 'Resultado', mostrando las coordenadas convertidas. Puedes copiar fácilmente los resultados usando el botón de copiar.

Escenarios de Uso

  • Ingresando r=10, θ=90, unidad=grados para Polar a Cartesiano.
  • Ingresando x=-5, y=5 para Cartesiano a Polar.

Derivación Matemática y Fórmulas

  • Los fundamentos trigonométricos de la conversión
  • Fórmulas para Polar a Cartesiano
  • Fórmulas para Cartesiano a Polar
La conversión entre coordenadas polares y cartesianas se basa en trigonometría de triángulos rectos.
De Polar (r, θ) a Cartesiano (x, y)
Formando un triángulo recto con el polo, el punto (r, θ), y su proyección en el eje x, podemos usar definiciones trigonométricas básicas (SOH CAH TOA). La hipotenusa es 'r', y el ángulo es 'θ'. El lado adyacente es 'x' y el lado opuesto es 'y'.
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
De Cartesiano (x, y) a Polar (r, θ)
Para encontrar 'r', usamos el teorema de Pitágoras en el mismo triángulo recto:
r = √(x² + y²)
Para encontrar el ángulo 'θ', usamos la función arcotangente. La función atan2(y, x) es preferida sobre atan(y/x) ya que maneja correctamente los cuatro cuadrantes.
θ = atan2(y, x)

Aplicación de Fórmulas

  • Para (r=2, θ=30°): x = 2 * cos(30°) = 1.732, y = 2 * sin(30°) = 1.
  • Para (x=3, y=4): r = √(3² + 4²) = 5, θ = atan2(4, 3) = 53.13°.

Aplicaciones del Mundo Real de las Coordenadas Polares

  • Aplicaciones en Física e Ingeniería
  • Uso en Gráficos por Computadora y Robótica
  • Relevancia en Navegación y Astronomía
Las coordenadas polares no son solo un concepto académico; son esenciales en muchos campos prácticos.
Física e Ingeniería
En física, las coordenadas polares son ideales para describir objetos que se mueven en círculos, como planetas en órbita o un carro en una pista circular. También son fundamentales para analizar campos que tienen una fuente central, como campos electromagnéticos o campos gravitacionales.
Los ingenieros las usan para describir los patrones de radiación de antenas y micrófonos, donde la fuerza de la señal varía con el ángulo.
Gráficos por Computadora y Robótica
En gráficos por computadora, rotar un objeto alrededor de un punto de pivote es mucho más simple usando coordenadas polares. También se usan para crear patrones circulares o espirales. En robótica, la posición del brazo de un robot a menudo se define por un ángulo y una longitud de extensión, una aplicación directa de coordenadas polares.

Campos Prácticos

  • Una pantalla de radar mostrando la posición de una aeronave por su distancia y rumbo (ángulo).
  • Un programa CAD rotando un componente por un ángulo específico.

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • La unicidad de las coordenadas polares
  • Manejando ángulos y radios negativos
  • Eligiendo la función arcotangente correcta
Aunque poderosas, las coordenadas polares tienen matices que pueden llevar a confusión.
¿Son Únicas las Coordenadas Polares?
A diferencia de las coordenadas cartesianas, la representación polar de un punto no es única. Por ejemplo, el punto (r, θ) también puede representarse como (r, θ + 360°) o (r, θ - 360°). El polo (origen) mismo es (0, θ) para cualquier ángulo θ. Esta calculadora proporciona el valor principal para el ángulo, típicamente en el rango [0, 360°) o [0, 2π).
La Importancia de atan2(y, x)
Un error común es calcular θ usando atan(y/x). Esta función solo devuelve valores entre -90° y +90°, fallando en distinguir entre cuadrantes diagonalmente opuestos (ej., I y III). La función atan2(y, x) considera los signos de ambos x e y para devolver el ángulo correcto en el rango completo de 360°, por lo que es esencial para conversiones precisas.

Evitando Trampas

  • Para (x=-1, y=-1), `atan(-1/-1)` = `atan(1)` = 45°, lo cual es incorrecto. `atan2(-1, -1)` = -135° o 225°, lo cual es correcto.
  • El punto (5, 90°) es el mismo que (5, 450°).