Descomposición en Fracciones Parciales

Descompone expresiones racionales en fracciones más simples y manejables.

Ingresa los polinomios numerador y denominador a continuación para obtener la expansión en fracciones parciales. El grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador.

Ejemplos

Haz clic en un ejemplo para cargarlo en la calculadora.

Factores Lineales Distintos

distinct-linear

Un caso simple donde el denominador se factoriza en términos lineales únicos.

Numerador: 5x - 4

Denominador: x^2 - x - 2

Factores Lineales Distintos (Cúbico)

distinct-linear-cubic

Un denominador cúbico que se factoriza en tres términos lineales únicos.

Numerador: x^2 + 12x + 12

Denominador: x^3 - 4x

Numerador con Constante

improper-requires-division

Un caso con una constante en el numerador.

Numerador: 1

Denominador: x^2 + x

Numerador de Grado Superior

complex-case

Un caso más complejo con un numerador cuadrático.

Numerador: 8x^2 - 3x + 10

Denominador: x^3 - 2x^2 + 4x - 8

Otros Títulos
Entendiendo la Descomposición en Fracciones Parciales: Una Guía Completa
Domina el arte de descomponer funciones racionales complejas en componentes más simples para facilitar la integración y el análisis.

¿Qué es la Descomposición en Fracciones Parciales?

  • Descomponer expresiones racionales complejas.
  • Una técnica crucial en cálculo e ingeniería.
  • Simplificar fracciones para el análisis.
La descomposición en fracciones parciales es un procedimiento en álgebra utilizado para expresar una función racional (una fracción de dos polinomios) como una suma de fracciones más simples. Esta técnica es invaluable porque estas fracciones más simples suelen ser más fáciles de trabajar, especialmente al realizar integración o transformadas inversas de Laplace.
Para que la descomposición sea posible, el grado del polinomio numerador debe ser menor que el grado del polinomio denominador. Si no lo es, primero se debe realizar la división larga de polinomios.
La Forma de las Fracciones Parciales
La forma de la descomposición en fracciones parciales depende completamente de los factores del denominador. Los casos principales son:
• Factores Lineales Distintos: Para cada factor (ax+b), la descomposición contiene un término A/(ax+b).
• Factores Lineales Repetidos: Para cada factor (ax+b)^k, la descomposición contiene términos A₁/(ax+b) + A₂/(ax+b)² + ... + Aₖ/(ax+b)ᵏ.
• Factores Cuadráticos Irreducibles: Para cada factor (ax²+bx+c), la descomposición contiene un término (Ax+B)/(ax²+bx+c).

Formas Comunes de Descomposición

  • 1 / (x-2)(x+1) -> A/(x-2) + B/(x+1)
  • x / (x-3)^2 -> A/(x-3) + B/(x-3)^2

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora

  • Ingresar tus polinomios correctamente.
  • Interpretar los resultados calculados.
  • Usar ejemplos para comenzar rápidamente.
Nuestra calculadora simplifica el proceso de descomposición. Sigue estos simples pasos para obtener tu resultado.
Ingresar Polinomios
Ingresa los polinomios numerador y denominador en sus respectivos campos. Usa 'x' como la variable. Los exponentes se denotan con el símbolo de intercalación '^'. Por ejemplo, '2x^2 + 3x - 5'.
Cálculo y Resultados
Después de ingresar los polinomios, haz clic en el botón 'Calcular'. La herramienta mostrará las fracciones parciales descompuestas. Si hay algún problema con tu entrada, como que el grado del numerador sea demasiado alto, un mensaje de error te guiará.

Ejemplos de Uso

  • Numerador: 'x', Denominador: 'x^2 - 1'
  • Resultado: 0.5/(x-1) + 0.5/(x+1)

Aplicaciones del Mundo Real

  • Resolver integrales complejas en cálculo.
  • Analizar sistemas de control en ingeniería.
  • Modelado en física y química.
La descomposición en fracciones parciales no es solo un ejercicio académico; tiene numerosas aplicaciones prácticas.
Cálculo e Integración
La aplicación más común es en cálculo, para encontrar la integral de una función racional. Al descomponerla en partes más simples, cada parte puede integrarse usando reglas básicas, como la regla del logaritmo o la regla de potencias.
Ingeniería y Teoría de Control
En ingeniería de sistemas de control, las funciones de transferencia suelen ser funciones racionales en la variable compleja 's'. Descomponer estas funciones es un paso clave para analizar el comportamiento del sistema y diseñar controladores. Se usa extensivamente con la transformada inversa de Laplace para encontrar la respuesta en el dominio del tiempo de un sistema.

Ejemplos de Aplicación

  • Integral de (5x-4)/(x^2-x-2) dx
  • Encontrar la transformada inversa de Laplace de F(s) = (s+1)/(s^2+3s+2)

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Manejar funciones racionales impropias.
  • Formar correctamente la descomposición.
  • Resolver para los coeficientes desconocidos.
Hay varios errores comunes al realizar la descomposición en fracciones parciales manualmente.
Fracciones Impropias
Un error frecuente es intentar descomponer directamente una función racional impropia (donde el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador). El primer paso correcto es siempre realizar la división larga de polinomios.
Resolver para Coeficientes
Una vez establecida la forma, encontrar los coeficientes (A, B, C, etc.) se puede hacer sustituyendo valores estratégicos para x (como las raíces del denominador) o expandiendo la expresión e igualando los coeficientes de potencias semejantes de x. El primero suele ser más rápido y se conoce como el método de cubrimiento de Heaviside para raíces lineales distintas.

Ejemplos de Corrección

  • Para (x^3)/(x^2-1), primero divide para obtener x + x/(x^2-1), luego descompón el resto.
  • Para resolver A en A/(x-r), multiplica por (x-r) y luego sustituye x=r.

Derivación Matemática y Teoría

  • La teoría detrás de la descomposición.
  • Prueba de existencia y unicidad.
  • El método de cubrimiento de Heaviside explicado.
La posibilidad de descomponer una función racional está garantizada por un teorema en álgebra que establece que cualquier función racional propia puede escribirse como una suma única de fracciones parciales.
El Método de Cubrimiento de Heaviside
Para una función racional propia P(x)/Q(x) donde Q(x) tiene factores lineales distintos (x - r₁)(x - r₂)...(x - rₙ), la descomposición es A₁/(x-r₁) + ... + Aₙ/(x-rₙ). El coeficiente Aₖ se puede encontrar 'cubriendo' el factor (x - rₖ) en la fracción original y evaluando el resto en x = rₖ.
Matemáticamente, Aₖ = P(rₖ) / Q'(rₖ), donde Q'(x) es la derivada de Q(x). Esto proporciona una forma rápida de encontrar coeficientes sin resolver un gran sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo del Método

  • Para encontrar A para 1/((x-2)(x+1)) = A/(x-2) + B/(x+1), calcula A = 1/(2+1) = 1/3.