Calculadora de Media Armónica

Calcula la media armónica para un conjunto de números, perfecta para promediar tasas.

Ingresa una lista de números para calcular su media armónica. Este tipo de promedio es crucial para tasas como la velocidad.

Ingresa números separados por comas o espacios. Todos los valores deben ser positivos.

Ejemplos

Haz clic en un ejemplo para cargar sus datos en la calculadora.

Cálculo de Velocidad Promedio

Cálculo de Velocidad Promedio

Calculando la velocidad promedio para un viaje con dos velocidades diferentes sobre la misma distancia.

Números: [60, 40]

Promedio de Razones Financieras

Promedio de Razones Financieras

Promediando razones Precio-Beneficio (P/B) para múltiples inversiones.

Números: [20, 30]

Conjunto Básico de Enteros

Conjunto Básico de Enteros

Un cálculo simple con un conjunto de números enteros.

Números: [2, 4, 8]

Conjunto de Datos con Decimales

Conjunto de Datos con Decimales

Calculando la media armónica para un conjunto de números decimales.

Números: [1.5, 2.5, 3.5, 4.5]

Otros Títulos
Entendiendo la Media Armónica: Una Guía Completa
Aprende qué es la media armónica, cómo se diferencia de otros promedios como la media aritmética, y sus casos de uso específicos, especialmente para promediar tasas.

¿Qué es la Media Armónica? Fundamentos Matemáticos y Conceptos

  • La media armónica es un tipo de promedio numérico.
  • Se calcula como el número de valores dividido por la suma de sus recíprocos.
  • Es el promedio más apropiado para tasas y razones.
La media armónica es una de las tres medias pitagóricas, junto con la media aritmética y la media geométrica. Mientras que la media aritmética es el tipo más común de 'promedio', la media armónica está específicamente diseñada para situaciones que involucran el promedio de tasas.
La fórmula para la media armónica (H) de un conjunto de n números (x₁, x₂, ..., xₙ) es: H = n / (Σ(1/xᵢ)). Tiende a dar menos peso a valores más grandes y más peso a valores más pequeños comparado con la media aritmética. No se puede usar si alguno de los valores es cero o negativo.
Características Clave
  • Enfocada en Tasas: Ideal para promediar cantidades como velocidad, donde los datos se expresan como una razón (ej., distancia/tiempo).
  • Dominancia de Valores Pequeños: La media armónica está fuertemente influenciada por valores más pequeños en el conjunto de datos.
  • Desigualdad Pitagórica: Para cualquier conjunto de números positivos, la media armónica siempre es menor o igual que la media geométrica, que es menor o igual que la media aritmética (H ≤ G ≤ A).

Ejemplos Básicos

  • Media Armónica de 1, 2, y 4 es 3 / (1/1 + 1/2 + 1/4) = 3 / (1.75) ≈ 1.714.
  • Media Aritmética de 1, 2, y 4 es (1+2+4)/3 = 7/3 ≈ 2.333.
  • Nota que la Media Armónica siempre es la más pequeña de las tres medias pitagóricas para números no idénticos.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Media Armónica

  • Domina el formato de entrada para tu serie de números.
  • Entiende los requisitos para una entrada de datos válida.
  • Interpreta los resultados, incluyendo el desglose de la fórmula.
Nuestra calculadora simplifica el proceso de encontrar la media armónica, proporcionando resultados instantáneos y precisos.
Pautas de Entrada:
  • Secuencia de Números: Ingresa tus números separados por comas (ej., 10, 20, 30) o espacios (ej., 10 20 30). La calculadora maneja ambos formatos.
  • Restricciones de Datos: Todos los números deben ser positivos y no cero. La calculadora mostrará un error si ingresas cero, números negativos o texto no numérico.
Interpretando la Salida:
La tarjeta de resultado mostrará:
  • La Media Armónica: El promedio calculado final.
  • Cantidad de Números: La cantidad total de valores (n) que ingresaste.
  • Suma de Recíprocos: La suma de los recíprocos (Σ(1/xᵢ)) usada en el denominador de la fórmula.

Ejemplos de Uso

  • Para encontrar la media armónica de 10, 20, y 30: Ingresa '10, 20, 30'. Resultado: ≈ 16.364.
  • Para el conjunto {2, 4, 8}: Ingresa '2, 4, 8'. Resultado: ≈ 3.429.

Aplicaciones del Mundo Real de la Media Armónica

  • Física: Calculando velocidad promedio durante un viaje.
  • Finanzas: Promediando múltiplos de valoración como razones P/B.
  • Otros Campos: Usada en hidrología, genética de poblaciones y ciencias de la computación.
La media armónica no es solo un concepto académico; es crucial en muchos campos prácticos donde se necesita el promedio de tasas.
Velocidad Promedio:
Este es el ejemplo clásico. Si viajas cierta distancia a una velocidad 'x' y regresas la misma distancia a una velocidad 'y', tu velocidad promedio es la media armónica de x e y. Por ejemplo, si conduces a una ciudad a 100 millas de distancia a 50 mph y regresas a 100 mph, tu velocidad promedio para todo el viaje es la media armónica de 50 y 100, que es aproximadamente 66.67 mph, no la media aritmética de 75 mph.
Finanzas:
En finanzas, la media armónica se usa para promediar múltiplos como la razón precio-beneficio (P/B). Si un inversionista compra acciones a lo largo del tiempo con una cantidad fija de dólares, el costo promedio por acción es la media armónica de los precios. Proporciona una medida más precisa de la base de costo que la media aritmética.
Electrónica:
Al calcular la resistencia total de múltiples resistores conectados en paralelo, la fórmula utilizada es equivalente a la media armónica de las resistencias dividida por el número de resistores.

Escenarios del Mundo Real

  • Un automóvil viaja a 60 km/h durante los primeros 10 km y 40 km/h durante los siguientes 10 km. La velocidad promedio es la media armónica de 60 y 40, que es 48 km/h.
  • Inviertes $1000 en una acción con P/B de 20 y otros $1000 en una acción con P/B de 30. El P/B promedio de tu portafolio es la media armónica de 20 y 30, que es 24.

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Confundir medias armónicas y aritméticas para tasas.
  • Manejar incorrectamente valores cero o negativos.
  • Ignorar la sensibilidad de la media armónica a números pequeños.
El error más común es usar la familiar media aritmética cuando se requiere la media armónica, llevando a conclusiones incorrectas.
Media Aritmética vs. Media Armónica para Tasas
  • Incorrecto: Para encontrar la velocidad promedio para un viaje a una tienda a 30 mph y de regreso a 60 mph, calcular (30 + 60) / 2 = 45 mph es incorrecto porque el tiempo gastado a cada velocidad es diferente.
  • Correcto: Dado que la distancia es constante para ambas partes del viaje, debemos usar la media armónica para promediar las velocidades. H = 2 / (1/30 + 1/60) = 2 / (0.05) = 40 mph. La velocidad promedio verdadera es 40 mph.
Sensibilidad a Valores Bajos
La media armónica está fuertemente influenciada por los valores más pequeños en un conjunto de datos. Un solo número muy pequeño puede reducir significativamente la media armónica, mucho más de lo que afectaría a la media aritmética. Esto es porque los números pequeños tienen recíprocos grandes, que dominan la suma en el denominador de la fórmula.

Ejemplos de Corrección

  • Conjunto de datos {1, 10, 100}: Media Aritmética = 37. Media Armónica ≈ 2.7. El valor pequeño '1' tiene una fuerte influencia.
  • Conjunto de datos {10, 100, 1000}: Media Aritmética = 370. Media Armónica ≈ 27.3. Aún la media más pequeña, pero menos sesgada que el primer ejemplo.

Derivación Matemática y Propiedades

  • La fórmula en relación con otras medias pitagóricas.
  • El concepto de la media armónica ponderada.
  • Su estructura algebraica y origen.
La media armónica es parte de un trío de medias clásicas con relaciones matemáticas profundas.
Desigualdad de las Medias Pitagóricas
Para cualquier conjunto de números positivos {x₁, x₂, ..., xₙ}, se mantiene la siguiente desigualdad: Media Armónica (H) ≤ Media Geométrica (G) ≤ Media Aritmética (A). Las tres medias solo son iguales si todos los números en el conjunto son idénticos (x₁ = x₂ = ... = xₙ).
Media Armónica Ponderada
Existe una versión ponderada para casos donde ciertos valores tienen más importancia. La fórmula es: H Ponderada = (Σwᵢ) / (Σ(wᵢ/xᵢ)), donde 'wᵢ' son los pesos correspondientes a cada valor 'xᵢ'.
Definición Algebraica
La media armónica es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos. Esta definición resalta su relación inversa con la media aritmética y explica su idoneidad para promediar tasas.

Propiedades Matemáticas

  • Para el conjunto {2, 8}: A = (2+8)/2 = 5; G = √(2*8) = 4; H = 2/(1/2+1/8) = 3.2. Esto demuestra A > G > H.
  • Para el conjunto {5, 5, 5}: A = 5, G = 5, H = 5. Las tres medias son iguales.