Calculadora de Parábola

Determina el vértice, foco, directriz y otras propiedades clave de una parábola desde su ecuación.

Ingresa los coeficientes de la ecuación de tu parábola para obtener un análisis detallado de sus propiedades geométricas.

Ejemplos

Haz clic en un ejemplo para cargar sus datos en la calculadora.

Standard Vertical Parabola

Parábola Vertical Estándar

A simple upward-opening parabola.

a: 1

b: -4

c: 5

Downward-Opening Parabola

Parábola de Apertura Hacia Abajo

A vertical parabola that opens downwards.

a: -2

b: 8

c: -5

Standard Horizontal Parabola

Parábola Horizontal Estándar

A parabola that opens to the right.

a: 0.5

b: -4

c: 6

Left-Opening Parabola

Parábola de Apertura Hacia la Izquierda

A horizontal parabola with a negative 'a' value, opening to the left.

a: -1

b: 6

c: -9

Otros Títulos
Entendiendo la Calculadora de Parábola: Una Guía Completa
Explora las propiedades, ecuaciones y aplicaciones de las parábolas con esta guía detallada.

¿Qué es una Parábola? Conceptos Fundamentales

  • Definición geométrica de una parábola
  • Elementos clave: vértice, foco, directriz y eje de simetría
  • Ecuaciones estándar para parábolas verticales y horizontales
Una parábola es una curva en forma de U que es un concepto fundamental en álgebra y geometría. Geométricamente, se define como el conjunto de todos los puntos en un plano que están equidistantes de un punto fijo (el foco) y una línea fija (la directriz). Esta propiedad única le da a la parábola su forma característica y capacidades reflectivas.
Elementos Clave de una Parábola
Vértice: El punto donde la parábola hace su giro más pronunciado; es el punto mínimo en una parábola de apertura hacia arriba o el punto máximo en una de apertura hacia abajo.
Foco: Un punto fijo dentro de la parábola que se usa para definir la curva. Todos los rayos paralelos al eje de simetría se reflejan hacia este punto.
Directriz: Una línea fija fuera de la parábola. Cada punto en la parábola está a la misma distancia del foco que de la directriz.
Eje de Simetría: La línea que pasa por el vértice y el foco, dividiendo la parábola en dos mitades de imagen especular.
Ecuaciones Estándar
Parábola Vertical: La ecuación es y = ax² + bx + c. Si 'a' > 0, se abre hacia arriba. Si 'a' < 0, se abre hacia abajo.
Parábola Horizontal: La ecuación es x = ay² + by + c. Si 'a' > 0, se abre hacia la derecha. Si 'a' < 0, se abre hacia la izquierda.

Ejemplos Fundamentales

  • y = x² es la parábola de apertura hacia arriba más simple con un vértice en (0,0).
  • y = -x² + 2 es una parábola de apertura hacia abajo con un vértice en (0,2).
  • x = y² es la parábola de apertura hacia la derecha más simple con un vértice en (0,0).

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Parábola

  • Selecciona la forma correcta de ecuación para tu problema
  • Ingresa los coeficientes 'a', 'b' y 'c' con precisión
  • Interpreta los resultados calculados para un análisis completo
Nuestra calculadora simplifica el proceso de analizar una parábola. Sigue estos pasos para obtener resultados precisos instantáneamente.
1. Selecciona la Forma de Ecuación
Primero, identifica la forma de la ecuación de tu parábola. Elige 'y = ax² + bx + c' para parábolas que se abren verticalmente (arriba o abajo). Elige 'x = ay² + by + c' para parábolas que se abren horizontalmente (izquierda o derecha). Esta elección es crucial ya que determina cómo se calculan las propiedades.
2. Ingresa los Coeficientes
A continuación, ingresa los coeficientes 'a', 'b' y 'c' de tu ecuación en los campos designados. Asegúrate de que el coeficiente 'a' sea diferente de cero, ya que un valor de cero resultaría en una línea recta, no en una parábola.
3. Calcula e Interpreta los Resultados
Haz clic en el botón 'Calcular Propiedades'. La herramienta mostrará el vértice, foco, directriz, eje de simetría y otras características clave. La 'Forma de Vértice' proporciona una representación alternativa de tu ecuación, que hace que las coordenadas del vértice sean inmediatamente obvias.

Escenarios de Entrada

  • Para y = 3x² - 6x + 1, selecciona la forma vertical e ingresa a=3, b=-6, c=1.
  • Para x = -y² + 4y, selecciona la forma horizontal e ingresa a=-1, b=4, c=0.
  • Si tu ecuación es y - 2 = (x+1)², primero expándela a y = x² + 2x + 3 para encontrar a=1, b=2, c=3.

Aplicaciones del Mundo Real de las Parábolas

  • Ingeniería y arquitectura: Diseñando estructuras fuertes y eficientes
  • Óptica y astronomía: Construyendo telescopios, antenas parabólicas y linternas
  • Física: Modelando la trayectoria de proyectiles bajo gravedad
La forma parabólica no es solo un concepto matemático abstracto; aparece frecuentemente en el mundo natural y se aprovecha en numerosas tecnologías.
Antenas Parabólicas y Antenas
La propiedad reflectiva de la parábola es clave. Las ondas de radio paralelas de un satélite distante golpean el plato y todas se reflejan hacia un solo punto: el foco. Colocar un receptor en el foco permite una recepción de señal fuerte.
Faros de Automóvil y Linternas
Esta aplicación es el reverso de una antena parabólica. Se coloca una bombilla en el foco de un espejo parabólico. Los rayos de luz viajan desde el foco, golpean el espejo y se reflejan hacia afuera en un haz paralelo, creando una fuente de luz fuerte y enfocada.
Movimiento de Proyectiles
En ausencia de resistencia del aire, la trayectoria de cualquier objeto lanzado o disparado al aire (un proyectil) sigue una trayectoria parabólica. Este principio es fundamental en deportes como el baloncesto y en campos como la balística.

Usos Tecnológicos

  • Los arcos del Golden Gate Bridge son parabólicos, distribuyendo el peso y el estrés eficientemente.
  • Los cocinas solares usan espejos parabólicos para concentrar la luz solar a un punto focal para calentar.
  • La trayectoria de un tiro de baloncesto es una parábola, permitiendo a los jugadores apuntar al aro.

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Distinguir entre parábolas verticales y horizontales
  • Entender el papel del coeficiente 'a'
  • Identificar correctamente las intersecciones desde la ecuación
Entender los matices de las parábolas puede ser complicado. Aquí hay algunos puntos de confusión comunes y cómo abordarlos.
Orientación Horizontal vs. Vertical
Un error común es confundir la orientación. Recuerda: si el término 'x' está al cuadrado (y = ax²...), la parábola es vertical. Si el término 'y' está al cuadrado (x = ay²...), la parábola es horizontal. Esta es la primera y más importante distinción que hay que hacer.
La Significancia de 'a'
El coeficiente 'a' hace más que solo determinar la dirección de apertura. También controla el 'ancho' de la parábola. Un valor absoluto más pequeño de 'a' (|a|) resulta en una parábola más ancha y plana. Un |a| más grande resulta en una parábola más estrecha y empinada.
Encontrar Intersecciones
Para encontrar la(s) intersección(es) y, establece x=0 y resuelve para y. Para encontrar la(s) intersección(es) x, establece y=0 y resuelve para x. Para una parábola vertical y = ax² + bx + c, la intersección y es simplemente (0, c). Encontrar las intersecciones x puede requerir usar la fórmula cuadrática, y es posible que no haya intersecciones reales si la parábola no cruza el eje x.

Ejemplos de Aclaración

  • y = 10x² es mucho más estrecha que y = 0.1x².
  • En y = x² + 1, establecer y=0 da x² = -1, que no tiene soluciones reales, por lo que no hay intersecciones x.
  • En x = y² - 4, establecer x=0 da y²=4, por lo que las intersecciones y están en (0, 2) y (0, -2).

Derivaciones Matemáticas y Fórmulas

  • Derivando la fórmula del vértice desde la ecuación estándar
  • Calculando el foco y directriz usando la distancia focal 'p'
  • Entendiendo la relación entre las formas estándar y de vértice
Las propiedades calculadas por esta herramienta se derivan directamente de los coeficientes de la ecuación estándar. Aquí hay un vistazo a las matemáticas involucradas.
Para una Parábola Vertical (y = ax² + bx + c)
Coordenadas del Vértice: La coordenada x del vértice, 'h', se encuentra usando la fórmula h = -b / (2a). La coordenada y, 'k', se encuentra sustituyendo 'h' de vuelta en la ecuación: k = a(h)² + b(h) + c.
Distancia Focal (p): La distancia desde el vértice al foco (y vértice a directriz) está dada por p = 1 / (4a).
Foco y Directriz: El foco está ubicado en (h, k + p), y la directriz es la línea horizontal y = k - p.
Para una Parábola Horizontal (x = ay² + by + c)
Coordenadas del Vértice: Los roles se intercambian. La coordenada y del vértice, 'k', es k = -b / (2a). La coordenada x, 'h', se encuentra sustituyendo 'k': h = a(k)² + b(k) + c.
Distancia Focal (p): La fórmula permanece p = 1 / (4a).
Foco y Directriz: El foco está en (h + p, k), y la directriz es la línea vertical x = h - p.

Aplicación de Fórmulas

  • Para y = 2x² - 12x + 10: h = -(-12)/(2*2) = 3. k = 2(3)² - 12(3) + 10 = -8. El vértice es (3, -8).
  • Continuando: p = 1/(4*2) = 1/8. El foco es (3, -8 + 1/8) = (3, -63/8). La directriz es y = -8 - 1/8 = -65/8.