Calculadora de Variación Inversa

Resuelve para la constante de variación (k) o una variable faltante en la ecuación y = k/x

Esta herramienta te ayuda a entender y resolver problemas que involucran proporcionalidad inversa, un concepto fundamental en álgebra y física.

Valores Iniciales (Punto 1)

Resolver Para (Punto 2)

Ejemplos

Haz clic en cualquier ejemplo para cargarlo en la calculadora

Encontrar y₂ dado x₁, y₁, y x₂

Encontrar y₂ dado x₂

Si y es 10 cuando x es 2, encuentra y cuando x es 4.

x₁: 2

y₁: 10

Valor de la Variable: 4

Encontrar x₂ dado x₁, y₁, y y₂

Encontrar x₂ dado y₂

Si y es 6 cuando x es 5, encuentra x cuando y es 3.

x₁: 5

y₁: 6

Valor de la Variable: 3

Física: Velocidad y Tiempo

Física: Velocidad y Tiempo

Un carro toma 3 horas a 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tomaría a 90 km/h?

x₁: 60

y₁: 3

Valor de la Variable: 90

Economía: Precio y Demanda

Economía: Precio y Demanda

Si se venden 500 unidades a $10 cada una, ¿cuántas se venderían a $8?

x₁: 10

y₁: 500

Valor de la Variable: 8

Otros Títulos
Entendiendo la Variación Inversa: Una Guía Completa
Explora el concepto de variación inversa, cómo encontrar la constante de proporcionalidad y sus aplicaciones en escenarios del mundo real.

¿Qué es la Variación Inversa? Conceptos Básicos

  • Definiendo la relación donde dos variables se mueven en direcciones opuestas.
  • Entendiendo la constante de variación 'k'.
  • La fórmula fundamental: y = k/x.
La variación inversa, también conocida como proporción inversa, describe una relación entre dos variables donde cuando una variable aumenta, la otra variable disminuye, y viceversa. La característica clave es que su producto permanece constante.
Este producto constante se llama 'constante de variación' o 'constante de proporcionalidad', denotada por 'k'. La relación se expresa matemáticamente por la fórmula y = k/x, que también se puede escribir como xy = k.

Ejemplos Básicos

  • Si y = 10 cuando x = 5, entonces k = 10 * 5 = 50. La ecuación es y = 50/x.
  • Si y = 2 cuando x = 8, entonces k = 2 * 8 = 16. La ecuación es y = 16/x.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Variación Inversa

  • Ingresando tus valores iniciales conocidos (x₁ y y₁).
  • Seleccionando la variable que deseas resolver (x₂ o y₂).
  • Interpretando la constante calculada, ecuación y resultado final.
1. Ingresa los Valores Iniciales
En la sección 'Valores Iniciales (Punto 1)', ingresa los valores para tu par conocido de variables, x₁ y y₁.
2. Elige Qué Resolver
Desde el menú desplegable 'Resolver Para', selecciona si quieres encontrar un nuevo valor de y (y₂) o un nuevo valor de x (x₂).
3. Ingresa la Variable Conocida
Aparecerá un campo de entrada para la variable correspondiente (ya sea x₂ o y₂). Ingresa su valor.
4. Calcula y Ve el Resultado
Haz clic en 'Calcular'. La herramienta mostrará la constante de variación (k), la ecuación completa de variación inversa y el valor calculado final para tu variable desconocida.

Ejemplos de Uso

  • Problema: y es 15 cuando x es 3. Encuentra y cuando x es 5.
  • Solución: Ingresa x₁=3, y₁=15. Selecciona 'Encontrar y₂ dado x₂' e ingresa x₂=5. Resultado: k=45, y₂=9.

Aplicaciones del Mundo Real de la Variación Inversa

  • Física: Entendiendo relaciones como velocidad-tiempo y presión-volumen.
  • Economía: Modelando conceptos como precio y demanda.
  • Gestión de Proyectos: Relacionando el número de trabajadores con el tiempo de finalización del proyecto.
Velocidad y Tiempo de Viaje
Para una distancia fija, la velocidad y el tiempo de viaje son inversamente proporcionales. Mientras más rápido vayas, menos tiempo toma. Fórmula: Tiempo = Distancia / Velocidad.
Presión y Volumen (Ley de Boyle)
En física, la Ley de Boyle establece que para una cantidad fija de gas a temperatura constante, la presión y el volumen son inversamente proporcionales. Cuando aumentas la presión, el volumen disminuye. Fórmula: P ∝ 1/V.
Trabajo y Tiempo
El número de personas trabajando en un proyecto es a menudo inversamente proporcional al tiempo que toma completarlo. Más trabajadores llevan a menos tiempo.

Escenarios Prácticos

  • Viajando 240 millas: A 60 mph, toma 4 horas. A 80 mph, toma 3 horas. (60 * 4 = 80 * 3 = 240)
  • Un gas en un pistón: Si la presión es 1 atm a 2L, aumentar el volumen a 4L disminuirá la presión a 0.5 atm.

Conceptos Erróneos Comunes vs. Métodos Correctos

  • Distinguir la variación inversa de la variación directa.
  • Configurar la proporción correctamente.
  • Evitar errores algebraicos comunes.
Concepto Erróneo 1: Confundir con Variación Directa
Incorrecto: Pensar que cuando una variable aumenta, la otra también debe aumentar. Esto describe la variación directa (y = kx).
Correcto: En la variación inversa, cuando una variable sube, la otra baja. La relación es y = k/x.
Concepto Erróneo 2: Configurar Incorrectamente la Ecuación
Incorrecto: Usar una razón como x₁/y₁ = x₂/y₂. Este es un error común para aquellos nuevos en el concepto.
Correcto: La relación correcta se deriva del producto constante: x₁y₁ = x₂y₂. Esta es la base para resolver una incógnita.

Ejemplos de Aclaración

  • Variación Directa: Mientras más horas trabajes, más te pagan. (Pago = Tarifa × Horas)
  • Variación Inversa: Mientras más personas compartan una pizza, más pequeña es cada rebanada. (Tamaño de Rebanada = Tamaño de Pizza / Número de Personas)

Derivación Matemática y Fórmula

  • Derivando la fórmula para la constante 'k'.
  • Derivando la fórmula para resolver una nueva variable.
  • Un ejemplo resuelto paso a paso.
El principio central de la variación inversa es que el producto de las dos variables es constante. Usemos esto para derivar las fórmulas usadas en la calculadora.
Derivación
1. Definición: y varía inversamente como x.
2. Fórmula: y = k/x
3. Encontrando k: Para encontrar la constante, reorganiza la fórmula: k = x * y. Para cualquier punto (x₁, y₁) en la curva, k = x₁ * y₁.
4. Resolviendo para y₂: Sabemos que x₁y₁ = k y x₂y₂ = k. Por lo tanto, x₁y₁ = x₂y₂. Para encontrar y₂, simplemente reorganiza esta ecuación: y₂ = (x₁y₁) / x₂.
5. Resolviendo para x₂: Similarmente, para encontrar x₂, reorganiza la ecuación: x₂ = (x₁y₁) / y₂.

Ejemplo Resuelto

  • Problema: Si y = 8 cuando x = 3, encuentra x cuando y = 6.
  • 1. Encuentra k: k = x₁y₁ = 3 * 8 = 24.
  • 2. Usa la fórmula para x₂: x₂ = (x₁y₁) / y₂ = 24 / 6.
  • 3. Resuelve: x₂ = 4.