Calculadora de Descomposición de Valores Singulares

Descompone matrices en componentes U, Σ y V^T

Ingresa tu matriz para calcular su Descomposición de Valores Singulares (SVD). Esta herramienta descompone cualquier matriz m×n A en A = UΣV^T.

Ingresa los elementos de la matriz separados por comas para las filas y punto y coma para las columnas (ej., 1,2,3;4,5,6 para una matriz 2×3)

Ejemplos SVD

Prueba estas matrices de ejemplo para entender la descomposición SVD

Matriz Identidad 2×2

2x2

Descomposición simple de matriz identidad

Matriz: 1,0;0,1

Tamaño: 2×2

Matriz Rectangular 3×2

3x2

Descomposición de una matriz rectangular

Matriz: 1,2;3,4;5,6

Tamaño: 3×2

Matriz de Datos 2×3

2x3

Matriz de datos típica para reducción de dimensionalidad

Matriz: 4,0,3;0,2,0

Tamaño: 2×3

Matriz Diagonal 3×3

diagonal

Matriz diagonal con valores propios distintos

Matriz: 3,0,0;0,2,0;0,0,1

Tamaño: 3×3

Otros Títulos
Entendiendo la Descomposición de Valores Singulares: Una Guía Completa
Domina los fundamentos de SVD y sus aplicaciones en ciencia de datos y álgebra lineal

¿Qué es la Descomposición de Valores Singulares (SVD)?

  • Fundamento Matemático
  • Teoría de Descomposición de Matrices
  • Relación con la Descomposición de Valores Propios
La Descomposición de Valores Singulares (SVD) es una técnica fundamental de factorización de matrices en álgebra lineal que descompone cualquier matriz m×n A en tres matrices: A = UΣV^T, donde U y V son matrices ortogonales y Σ es una matriz diagonal que contiene los valores singulares.
Fundamento Matemático
Para cualquier matriz real A de tamaño m×n, SVD produce: U (matriz ortogonal m×m), Σ (matriz diagonal m×n con valores singulares no negativos), y V^T (transpuesta de matriz ortogonal n×n). Los valores singulares en Σ están ordenados de forma descendente.
Teoría de Descomposición de Matrices
SVD existe para toda matriz, a diferencia de la descomposición de valores propios que solo existe para matrices cuadradas. Las columnas de U se llaman vectores singulares izquierdos, las columnas de V son vectores singulares derechos, y los elementos diagonales de Σ son valores singulares.
Relación con la Descomposición de Valores Propios
SVD está estrechamente relacionada con la descomposición de valores propios: las columnas de V son vectores propios de A^TA, las columnas de U son vectores propios de AA^T, y los valores singulares son raíces cuadradas de los valores propios de A^TA (o AA^T).

Ejemplos Básicos de SVD

  • Para la matriz A = [[3,2,2],[2,3,-2]], SVD da las matrices U, Σ y V^T
  • El valor singular más grande representa el factor de estiramiento máximo de la transformación lineal

Guía Paso a Paso para Calcular SVD

  • Proceso de Cálculo Manual
  • Métodos Numéricos
  • Implementación de Software
Calcular SVD manualmente involucra varios pasos: calcular A^TA y AA^T, encontrar sus valores propios y vectores propios, construir las matrices V y U, y determinar los valores singulares a partir de los valores propios.
Proceso de Cálculo Manual
1. Calcula A^TA y encuentra sus valores propios λ₁, λ₂, ..., λₙ. 2. Calcula los valores singulares σᵢ = √λᵢ. 3. Encuentra los vectores propios de A^TA para formar la matriz V. 4. Calcula U usando U = AV/σ para cada valor singular. 5. Organiza los componentes en orden descendente de valores singulares.
Métodos Numéricos
Los algoritmos modernos usan métodos iterativos como el algoritmo Golub-Reinsch o métodos de Jacobi para calcular SVD eficientemente. Estos métodos evitan calcular explícitamente A^TA o AA^T para mantener la estabilidad numérica.
Implementación de Software
La mayoría de los paquetes de software matemático proporcionan funciones SVD integradas. Nuestra calculadora usa algoritmos numéricos optimizados para calcular SVD con precisión para matrices de tamaños razonables mientras mantiene la precisión.

Ejemplos de Cálculo

  • Cálculo paso a paso para matriz 2×2 [[1,2],[3,4]]
  • Comparación de diferentes métodos numéricos para matrices grandes

Aplicaciones del Mundo Real de SVD

  • Compresión de Datos
  • Reducción de Dimensionalidad
  • Sistemas de Recomendación
SVD tiene numerosas aplicaciones prácticas en diferentes campos, desde compresión de imágenes y análisis de datos hasta aprendizaje automático y procesamiento de señales. Su capacidad para capturar las características más importantes de los datos la hace invaluable para muchas tareas computacionales.
Compresión de Datos
SVD permite la compresión de datos con pérdida al mantener solo los valores singulares más grandes y sus vectores correspondientes. Esta SVD truncada preserva la información más significativa mientras reduce significativamente los requisitos de almacenamiento.
Reducción de Dimensionalidad
En aprendizaje automático, SVD se usa para Análisis de Componentes Principales (PCA) para reducir la dimensionalidad de los datos mientras preserva la varianza. Esto ayuda en visualización, reducción de ruido y eficiencia computacional.
Sistemas de Recomendación
Los sistemas de filtrado colaborativo usan SVD para descomponer matrices de calificación usuario-elemento, identificando factores latentes que explican las preferencias del usuario y características de los elementos para hacer recomendaciones.

Ejemplos de Aplicación

  • Compresión de imágenes reduciendo el tamaño del archivo en 90% mientras mantiene la calidad visual
  • Sistema de recomendación de Netflix usando SVD para sugerencias personalizadas de películas

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Unicidad de SVD
  • Complejidad Computacional
  • Interpretación de Resultados
Existen varios conceptos erróneos sobre SVD, particularmente respecto a su unicidad, requisitos computacionales e interpretación de resultados. Entender estos aclara cuándo y cómo usar SVD efectivamente.
Unicidad de SVD
Mientras que los valores singulares son únicos (hasta el ordenamiento), las matrices U y V no son únicas cuando los valores singulares se repiten. El espacio de columnas correspondiente a valores singulares iguales está determinado únicamente, pero los vectores individuales dentro de ese espacio pueden variar.
Complejidad Computacional
El cálculo de SVD es O(min(m²n, mn²)) para una matriz m×n, no O(n³) como a veces se cree. Para matrices grandes, los algoritmos SVD aleatorizados pueden proporcionar buenas aproximaciones mucho más rápido.
Interpretación de Resultados
Los valores singulares indican la 'importancia' de cada componente, pero sus magnitudes absolutas dependen del escalado de los datos. Siempre considera la razón de valores singulares en lugar de valores absolutos al evaluar la significancia del componente.

Ejemplos de Aclaración

  • Diferentes matrices U,V para la misma matriz con valores singulares repetidos
  • Efectos de escalado en las magnitudes de valores singulares

Derivación Matemática y Ejemplos Avanzados

  • Derivación Teórica
  • Interpretación Geométrica
  • Aplicaciones Avanzadas
El fundamento matemático de SVD proviene del teorema espectral y la teoría de optimización. Entender la derivación proporciona una comprensión más profunda de por qué SVD funciona y cómo interpretar sus resultados.
Derivación Teórica
SVD puede derivarse de la caracterización variacional: σ₁ = max ||Ax||/||x|| sobre vectores unitarios x. Este máximo se logra con el primer vector singular derecho, y los valores singulares subsiguientes se encuentran imponiendo restricciones de ortogonalidad.
Interpretación Geométrica
Geométricamente, SVD representa cualquier transformación lineal como una composición de rotación (V^T), escalado (Σ), y otra rotación (U). Esta descomposición revela cómo la transformación afecta diferentes direcciones en el espacio.
Aplicaciones Avanzadas
Las aplicaciones avanzadas incluyen resolver problemas de mínimos cuadrados, calcular pseudoinversas de matrices, analizar estructuras de redes, y resolver ecuaciones diferenciales parciales usando descomposición ortogonal propia (POD).

Ejemplos Avanzados

  • Visualización geométrica de transformación lineal 2D vía SVD
  • Usando pseudoinversa SVD para resolver sistemas sobredeterminados