Calculadora de Eliminación Gauss-Jordan

Resuelve sistemas de ecuaciones lineales transformando una matriz aumentada en forma escalonada reducida.

Ingresa los coeficientes de tu sistema lineal y los términos constantes para encontrar la solución única, o determinar si no existe solución o existen infinitas soluciones.

Ejemplos

Haz clic en cualquier ejemplo para cargarlo en la calculadora.

Sistema 2x2 con una Solución Única

matrix

Un sistema simple de 2 variables que se resuelve en una única solución.

Tamaño del Sistema: 2x2

219
1-13

Sistema 3x3 con una Solución Única

matrix

Un sistema estándar de 3 variables para demostrar el proceso en una escala ligeramente mayor.

Tamaño del Sistema: 3x3

1129
24-31
36-50

Sistema Sin Solución

matrix

Un sistema inconsistente donde la reducción de filas lleva a una contradicción (ej., 0 = 1).

Tamaño del Sistema: 3x3

12-14
2529
1336

Sistema con Infinitas Soluciones

matrix

Un sistema dependiente donde una ecuación es una combinación de otras, llevando a una variable libre.

Tamaño del Sistema: 3x3

1236
25815
1359
Otros Títulos
Entendiendo la Eliminación Gauss-Jordan: Una Guía Completa
Domina el arte de resolver sistemas lineales, encontrar inversas de matrices y entender espacios vectoriales a través de la poderosa técnica de eliminación Gauss-Jordan.

¿Qué es la Eliminación Gauss-Jordan?

  • Un algoritmo sistemático para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
  • Transforma la matriz aumentada de un sistema en forma escalonada reducida.
  • Revela si el sistema tiene una solución única, ninguna solución, o infinitas soluciones.
La eliminación Gauss-Jordan es una piedra angular del álgebra lineal utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método lleva el nombre de los matemáticos Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan. Funciona realizando sistemáticamente una secuencia de operaciones elementales de fila en la matriz aumentada de un sistema lineal hasta que está en una forma especial y simplificada conocida como forma escalonada reducida (RREF).
La Matriz Aumentada
Un sistema de ecuaciones lineales como:
2x + y = 9
x - y = 3
puede ser representado por una matriz aumentada. Esta es una matriz que contiene los coeficientes de las variables y los términos constantes, separados por una línea vertical:
[ 2 1 | 9 ]
[ 1 -1 | 3 ]
El Objetivo: Forma Escalonada Reducida (RREF)
El objetivo es transformar esta matriz aumentada en RREF, que tiene tres propiedades principales:
1. El primer elemento no cero en cada fila no cero (la entrada principal o pivote) es 1.
2. Cada 1 principal es la única entrada no cero en su columna.
3. Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.
Para nuestro ejemplo, la RREF sería:
[ 1 0 | 4 ]
[ 0 1 | 1 ]
Esto da directamente la solución: x = 4, y = 1.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora

  • Selecciona el tamaño de tu sistema lineal.
  • Ingresa los coeficientes en la matriz aumentada.
  • Interpreta los resultados correctamente para todos los tipos de solución.
Nuestra Calculadora de Eliminación Gauss-Jordan simplifica este proceso en unos pocos pasos fáciles.
1. Definir el Tamaño de la Matriz
Comienza seleccionando el número de ecuaciones (filas) y variables (columnas) en tu sistema. La calculadora soporta varios tamaños para manejar tanto problemas simples como complejos.
2. Poblar la Matriz Aumentada
Ingresa los coeficientes de cada variable en la parte principal de la matriz (A). Luego, ingresa los términos constantes del lado derecho de cada ecuación en la última columna (b). Asegúrate de que cada número se ingrese correctamente.
3. Calcular y Analizar
Haz clic en el botón 'Calcular'. La herramienta realizará las operaciones elementales de fila y mostrará la matriz final en forma escalonada reducida, junto con la solución.
- Solución Única: La RREF será una matriz identidad a la izquierda, con la solución en la columna final.
- Sin Solución: Verás una fila con todos ceros a la izquierda y una entrada no cero a la derecha (ej., [0 0 0 | 1]), que representa una contradicción como 0 = 1.
- Infinitas Soluciones: Tendrás menos filas no cero que variables, indicando la presencia de variables libres.

Aplicaciones del Mundo Real de la Eliminación Gauss-Jordan

  • Ingeniería: Analizando circuitos eléctricos y cargas estructurales.
  • Ciencias de la Computación: Resolviendo problemas en gráficos por computadora y flujo de redes.
  • Economía: Modelando equilibrio de mercado y optimizando asignación de recursos.
La eliminación Gauss-Jordan no es solo un ejercicio académico; es una herramienta poderosa utilizada para resolver problemas tangibles en muchas disciplinas.
Análisis de Circuitos (Leyes de Kirchhoff)
En electrónica, las leyes de Kirchhoff para corriente y voltaje producen sistemas de ecuaciones lineales. Los ingenieros usan la eliminación Gauss-Jordan para resolver las corrientes desconocidas en diferentes partes de un circuito complejo, lo cual es crucial para diseñar y solucionar problemas en dispositivos electrónicos.
Química
Al balancear ecuaciones químicas, se puede establecer un sistema de ecuaciones lineales para asegurar que el número de átomos de cada elemento se conserve. Resolver este sistema da los coeficientes estequiométricos para los reactivos y productos.
Economía y Finanzas
Los economistas usan sistemas lineales para modelar oferta y demanda, calcular riesgo de portafolio y analizar modelos de insumo-producto que describen las interdependencias entre diferentes sectores de una economía. Gauss-Jordan proporciona los medios para encontrar puntos de equilibrio y estrategias óptimas.

Las Tres Operaciones Elementales de Fila

  • Intercambiar dos filas.
  • Multiplicar una fila por un escalar no cero.
  • Sumar un múltiplo de una fila a otra fila.
Todo el algoritmo de eliminación Gauss-Jordan se construye sobre tres operaciones simples, pero poderosas. Estas operaciones nos permiten manipular la matriz sin cambiar el conjunto de soluciones del sistema lineal subyacente.
1. Intercambio de Filas (Ri <-> Rj)
Cualquier par de filas en la matriz puede ser intercambiado. Esto es equivalente a cambiar el orden en el que escribes las ecuaciones, lo cual no tiene efecto en la solución final.
2. Escalamiento de Fila (k * Ri -> Ri)
Puedes multiplicar cualquier fila por una constante no cero. Esto corresponde a multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número, lo cual preserva la igualdad.
3. Suma de Filas (Ri + k * Rj -> R_i)
Un múltiplo de una fila puede ser sumado a otra fila. Esta es la herramienta principal del proceso de eliminación. Es como sumar una ecuación (o un múltiplo de ella) a otra, una técnica estándar para resolver sistemas de ecuaciones.

Eliminación Gaussiana vs. Eliminación Gauss-Jordan

  • La eliminación gaussiana produce una forma escalonada.
  • La eliminación Gauss-Jordan continúa hasta la forma escalonada reducida.
  • Gauss-Jordan requiere más pasos pero da la solución directamente.
Aunque están estrechamente relacionadas, hay una distinción clave entre la eliminación gaussiana y la eliminación Gauss-Jordan.
Eliminación Gaussiana: La Primera Fase
La eliminación gaussiana transforma la matriz aumentada en forma escalonada (REF). En REF, las entradas principales son 1, y cualquier entrada debajo de la entrada principal en la misma columna es cero. Sin embargo, las entradas arriba de la entrada principal no son necesariamente cero. Una vez en REF, la solución se encuentra usando un proceso llamado sustitución hacia atrás.
Eliminación Gauss-Jordan: La Reducción Completa
La eliminación Gauss-Jordan va un paso más allá. Después de alcanzar la forma escalonada, procede con una fase 'hacia atrás' para eliminar las entradas no cero arriba de los 1s principales. Esto resulta en la forma escalonada reducida (RREF), donde cada 1 principal es la única entrada no cero en su columna. La ventaja principal es que cuando se logra RREF, la solución al sistema puede leerse directamente de la matriz sin necesidad de sustitución hacia atrás.
En resumen, Gauss-Jordan es una versión más completa de la eliminación gaussiana. Aunque puede involucrar más pasos computacionales, su directividad la convierte en un método preferido tanto para soluciones manuales como computacionales.