Graficar Desigualdades Cuadráticas

Visualiza desigualdades cuadráticas y sus soluciones en un plano 2D.

Ingresa los coeficientes de la expresión cuadrática y selecciona el tipo de desigualdad para generar un análisis detallado y descripción del gráfico.

Ejemplos

Haz clic en cualquier ejemplo para cargarlo en la calculadora.

Parábola Estándar Hacia Arriba

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Una desigualdad simple con una parábola que se abre hacia arriba y dos raíces distintas.

Coeficiente a: 1

Coeficiente b: -4

Coeficiente c: 3

Desigualdad: >

Parábola Hacia Abajo (Línea Sólida)

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Una desigualdad con una parábola que se abre hacia abajo y una desigualdad no estricta.

Coeficiente a: -1

Coeficiente b: 2

Coeficiente c: 3

Desigualdad: ≤

Sin Raíces Reales

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Una desigualdad donde la parábola no intersecta el eje x.

Coeficiente a: 2

Coeficiente b: 3

Coeficiente c: 4

Desigualdad: <

Vértice en el Eje X

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Un cuadrado perfecto cuadrático donde el vértice es la única raíz.

Coeficiente a: 1

Coeficiente b: -6

Coeficiente c: 9

Desigualdad: ≥

Otros Títulos
Entendiendo las Desigualdades Cuadráticas: Una Guía Completa
Aprende cómo graficar desigualdades cuadráticas, interpretar los resultados y entender sus aplicaciones en varios campos.

¿Qué son las Desigualdades Cuadráticas? Conceptos Fundamentales

  • Entendiendo la Parábola
  • El Rol del Signo de Desigualdad
  • Líneas Sólidas vs. Discontinuas y Regiones Sombreadas
Una desigualdad cuadrática es una declaración matemática que relaciona una expresión cuadrática con un valor usando un símbolo de desigualdad como >, <, ≥, o ≤. Cuando se grafica en un plano cartesiano bidimensional, involucra una parábola, que es la forma característica de U de una función cuadrática.
La Parábola: y = ax² + bx + c
El núcleo de la desigualdad es la función cuadrática y = ax² + bx + c. El coeficiente 'a' determina la dirección en que se abre la parábola: hacia arriba si 'a' es positivo, y hacia abajo si 'a' es negativo. El vértice es el punto mínimo (si se abre hacia arriba) o máximo (si se abre hacia abajo) de la parábola.
Interpretando la Desigualdad
El signo de desigualdad determina qué parte del plano es el conjunto de solución. Para desigualdades que involucran y > ... o y ≥ ..., la región de solución está arriba de la parábola. Para y < ... o y ≤ ..., la solución está debajo de la parábola. La línea de la parábola misma es sólida para ≥ y ≤ (indicando que los puntos en la línea están incluidos en la solución) y discontinua para > y < (indicando que los puntos en la línea no están incluidos).

Conceptos Clave Ilustrados

  • y > x² - 1: Una parábola discontinua que se abre hacia arriba, con la región *arriba* de la curva sombreada.
  • y ≤ -x² + 4: Una parábola sólida que se abre hacia abajo, con la región *debajo* de la curva sombreada.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora

  • Ingresando los Coeficientes
  • Seleccionando el Tipo de Desigualdad
  • Interpretando la Sección de Resultados
Nuestra calculadora simplifica el proceso de graficar desigualdades cuadráticas en unos pocos pasos fáciles. Sigue esta guía para obtener resultados precisos rápidamente.
Ingresando Tu Desigualdad
1. Coeficiente 'a': Ingresa el coeficiente del término x². Recuerda, este valor no puede ser cero.
2. Coeficiente 'b': Ingresa el coeficiente del término x.
3. Coeficiente 'c': Ingresa el término constante.
4. Desigualdad: Elige el símbolo correcto (>, <, ≥, o ≤) del menú desplegable para definir la relación.
Analizando la Salida
Después de hacer clic en 'Graficar Desigualdad', la calculadora proporciona un desglose completo:
  • Vértice, Raíces, Foco: Estas son las propiedades geométricas clave de la parábola.
  • Descripción del Gráfico: Esta oración resume la representación visual de la desigualdad, incluyendo el estilo de línea de la parábola (sólida/discontinua) y la región de solución sombreada (arriba/debajo).

Recorrido Práctico

  • Para y ≥ 2x² - 3x + 1, ingresa a=2, b=-3, c=1 y selecciona '≥'.
  • La calculadora mostrará que se abre hacia arriba, tiene una línea sólida y está sombreada arriba.

Aplicaciones del Mundo Real de las Desigualdades Cuadráticas

  • Física e Ingeniería
  • Negocios y Economía
  • Problemas de Optimización
Las desigualdades cuadráticas no son solo conceptos matemáticos abstractos; tienen aplicaciones prácticas en varios campos.
Movimiento de Proyectiles
En física, la altura de un proyectil a lo largo del tiempo puede modelarse mediante una función cuadrática. Una desigualdad puede usarse para determinar los intervalos de tiempo durante los cuales el objeto está por encima de cierta altura. Por ejemplo, encontrar cuándo una pelota lanzada al aire está al menos a 10 pies del suelo.
Maximización de Beneficios
En economía, las funciones de ingresos y costos a menudo son cuadráticas. Un negocio podría usar una desigualdad cuadrática para determinar el rango de niveles de producción o precios que garantizarán un beneficio por encima de cierto umbral.
Diseño y Arquitectura
Los arquitectos que diseñan estructuras con arcos parabólicos, como puentes o techos, podrían usar desigualdades para asegurar que las dimensiones cumplan ciertas restricciones, como estar por debajo de una altura máxima o encerrar un área mínima.

Ejemplos de Aplicación

  • Encontrar cuándo la altitud de un cohete, h(t) = -16t² + 100t, es mayor que 50 pies.
  • Determinar el rango de precios para un producto para asegurar que el beneficio P(x) = -5x² + 200x - 1000 sea al menos $500.

Derivaciones Matemáticas y Fórmulas

  • Encontrando el Vértice
  • La Fórmula Cuadrática para las Raíces
  • Calculando el Foco y la Directriz
Los resultados proporcionados por la calculadora se basan en fórmulas fundamentales del álgebra y la geometría.
Fórmula del Vértice
El vértice de una parábola y = ax² + bx + c es un punto (h, k). La coordenada x, h, se encuentra usando la fórmula h = -b / (2a). La coordenada y, k, se encuentra sustituyendo h de vuelta en la ecuación cuadrática: k = a(h)² + b(h) + c.
Fórmula Cuadrática
Las raíces (interceptos x) son los puntos donde la parábola cruza el eje x (donde y=0). Se calculan usando la fórmula cuadrática: x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a). El término dentro de la raíz cuadrada, b² - 4ac, se llama discriminante. Si es positivo, hay dos raíces distintas. Si es cero, hay una raíz (el vértice está en el eje x). Si es negativo, no hay raíces reales.
Foco y Directriz
Para una parábola, el foco es un punto y la directriz es una línea. Cada punto en la parábola es equidistante del foco y la directriz. Si el vértice es (h, k), el foco es (h, k + p) y la directriz es y = k - p, donde p = 1 / (4a).

Fórmulas Fundamentales

  • Para y = 2x² - 8x + 6: Vértice x = -(-8)/(2*2) = 2. Vértice y = 2(2)² - 8(2) + 6 = -2. Entonces, el Vértice es (2, -2).
  • Raíces: x = [8 ± sqrt((-8)² - 4*2*6)] / (2*2) = [8 ± sqrt(16)] / 4 = (8 ± 4)/4. Las raíces son x=3 y x=1.

Conceptos Erróneos Comunes e Interpretación Correcta

  • Desigualdad vs. Ecuación
  • El Significado del Sombreado
  • Errores de Línea de Frontera
Entender las desigualdades cuadráticas requiere evitar trampas comunes relacionadas con su interpretación.
Una Solución es una Región, No un Número
Un error común es pensar que la solución es un solo número o un par de números. Mientras que resolver una ecuación cuadrática produce valores x específicos (las raíces), resolver una desigualdad cuadrática en un plano 2D produce una región completa de pares de coordenadas (x, y).
Líneas Discontinuas vs. Sólidas
Olvidar distinguir entre desigualdades estrictas (<, >) y no estrictas (≤, ≥) es otro error. Una línea discontinua significa que la parábola misma es una frontera y no es parte de la solución. Una línea sólida significa que los puntos en la parábola están incluidos en el conjunto de solución.
Sombreado del Lado Incorrecto
Es fácil confundirse sobre si sombrear arriba o debajo de la parábola. Un truco simple es probar un punto, como (0,0). Si sustituir x=0, y=0 en la desigualdad resulta en una declaración verdadera, entonces la región que contiene el origen es la solución. Si no, el otro lado es la solución. La calculadora automatiza esto, pero es un concepto útil para graficar manualmente.

Puntos a Recordar

  • Para y > x²: Prueba (0,1). ¿Es 1 > 0²? Sí. Entonces sombrea la región que contiene (0,1), que está *dentro* de la parábola que se abre hacia arriba (es decir, arriba de ella).
  • Para y < x² - 1: Prueba (0,0). ¿Es 0 < 0² - 1? No, 0 no es menor que -1. Entonces sombrea la región que *no* contiene el origen, que está *fuera* de la parábola (es decir, debajo de ella).