Calculadora de la Ley de los Cosenos

Una herramienta universal para resolver cualquier triángulo, extendiéndose más allá de las restricciones de ángulo recto.

Usa esta calculadora para configuraciones Lado-Ángulo-Lado (SAS) o Lado-Lado-Lado (SSS) para determinar mediciones desconocidas.

Ejemplos Prácticos

Explora escenarios comunes para ver cómo se aplica la Ley de los Cosenos.

Encontrar un Lado Faltante (SAS)

findSide

Dados dos lados y el ángulo entre ellos, encuentra el tercer lado.

Lado A: 5

Lado B: 7

Ángulo C: 45

Encontrar un Ángulo Faltante (SSS)

findAngle

Dados los tres lados de un triángulo, encuentra un ángulo.

Lado A: 8

Lado B: 6

Lado C: 10

Lado de Triángulo Obtuso (SAS)

findSide

Calcula el lado más largo de un triángulo con un ángulo obtuso.

Lado A: 10

Lado B: 12

Ángulo C: 120

Ángulo de Triángulo Isósceles (SSS)

findAngle

Encuentra el ángulo del vértice de un triángulo isósceles.

Lado A: 9

Lado B: 9

Lado C: 6

Otros Títulos
Entendiendo la Ley de los Cosenos: Una Guía Completa
Una exploración profunda de la regla del coseno, sus aplicaciones y fundamentos matemáticos.

¿Qué es la Ley de los Cosenos?

  • Una generalización del teorema de Pitágoras
  • Aplicable a todos los triángulos, no solo a los de ángulo recto
  • Conecta las longitudes de los lados con el coseno de un ángulo
La Ley de los Cosenos es un teorema fundamental en trigonometría que proporciona una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo y el coseno de uno de sus ángulos. Para cualquier triángulo con lados de longitud a, b, y c, y con el ángulo C opuesto al lado c, la ley se establece como:
c² = a² + b² - 2ab cos(C)
Esta fórmula puede reorganizarse para resolver cualquier lado o cualquier ángulo, convirtiéndola en una herramienta increíblemente versátil. Es particularmente útil en dos escenarios principales: cuando conoces dos lados y el ángulo incluido (SAS) o cuando conoces los tres lados (SSS).

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora

  • Elegir el modo de cálculo correcto
  • Ingresar tus valores conocidos correctamente
  • Interpretar los resultados calculados
1. Para Encontrar un Lado Faltante (SAS):
Selecciona el modo 'Encontrar Lado (SAS)'. Ingresa las longitudes de dos lados (ej., 'a' y 'b') y la medida del ángulo entre ellos (ángulo 'C'). La calculadora usará la fórmula c² = a² + b² - 2ab cos(C) para encontrar la longitud del tercer lado 'c'.
2. Para Encontrar un Ángulo Faltante (SSS):
Selecciona el modo 'Encontrar Ángulo (SSS)'. Ingresa las longitudes de los tres lados ('a', 'b', y 'c'). La calculadora primero verificará que los lados puedan formar un triángulo válido (desigualdad triangular). Luego, reorganizará la fórmula para encontrar un ángulo, por ejemplo, el ángulo 'C': C = arccos((a² + b² - c²) / 2ab).

Aplicaciones del Mundo Real de la Ley de los Cosenos

  • Topografía y medición de terrenos
  • Navegación y astronomía
  • Ingeniería y física
La Ley de los Cosenos no es solo un ejercicio académico; tiene numerosas aplicaciones prácticas.
Topografía:
Los topógrafos la usan para calcular la distancia entre dos puntos cuando una medición directa es imposible. Al medir la distancia desde un tercer punto a cada uno de los dos puntos y el ángulo entre esas líneas, pueden encontrar la distancia desconocida.
Navegación:
Los pilotos y marineros la usan para determinar la distancia y el rumbo a un destino, especialmente cuando se trata de vectores y efectos del viento/corriente.

Conceptos Erróneos Comunes y Puntos Clave

  • Ley de los Cosenos vs. Ley de los Senos
  • El Caso Ambiguo
  • Unidades y precisión
Ambigüedad de la Ley de los Senos:
A diferencia de la Ley de los Senos, la Ley de los Cosenos no tiene un 'caso ambiguo'. Al resolver para un ángulo usando el caso SSS, la función arccos siempre devolverá un ángulo único entre 0° y 180°, identificando correctamente si es agudo u obtuso.
Unidades:
Asegúrate de que todas las longitudes de los lados estén en las mismas unidades. La calculadora asume que los ángulos están en grados tanto para la entrada como para la salida.

Derivación Matemática y Demostración

  • Demostración usando geometría de coordenadas
  • Relación con el producto punto de vectores
  • Conexión con el teorema de Pitágoras
La Ley de los Cosenos puede derivarse colocando un triángulo en el plano de coordenadas cartesianas. Coloca el vértice C en el origen (0,0) y el lado 'b' a lo largo del eje x. Las coordenadas del vértice A serían (b, 0), y las coordenadas del vértice B serían (a cos(C), a sin(C)).
La longitud del lado 'c' es la distancia entre los puntos A y B. Usando la fórmula de distancia, c² = (a cos(C) - b)² + (a sin(C) - 0)². Expandir esta ecuación y simplificar usando la identidad sin²(C) + cos²(C) = 1 produce la Ley de los Cosenos: c² = a² + b² - 2ab cos(C).