Calculadora de Triángulos Semejantes

Resuelve cualquier lado faltante en un par de triángulos semejantes.

Selecciona el lado que quieres encontrar e ingresa las longitudes de los otros tres lados correspondientes.

Ejemplos Prácticos

Carga un ejemplo para ver cómo funciona la calculadora.

Encontrar Lado A₂

findSideA2

Dado A₁=3, B₁=4, y B₂=8, encuentra la longitud del lado A₂.

Lado A₁ (Triángulo 1): 3

Lado B₁ (Triángulo 1): 4

Lado B₂ (Triángulo 2): 8

Encontrar Lado B₂

findSideB2

Dado A₁=5, B₁=12, y A₂=10, encuentra la longitud del lado B₂.

Lado A₁ (Triángulo 1): 5

Lado B₁ (Triángulo 1): 12

Lado A₂ (Triángulo 2): 10

Encontrar Lado A₁

findSideA1

Dado B₁=7, A₂=9, y B₂=21, encuentra la longitud del lado A₁.

Lado B₁ (Triángulo 1): 7

Lado A₂ (Triángulo 2): 9

Lado B₂ (Triángulo 2): 21

Encontrar Lado B₁

findSideB1

Dado A₁=2.5, A₂=10, y B₂=15, encuentra la longitud del lado B₁.

Lado A₁ (Triángulo 1): 2.5

Lado A₂ (Triángulo 2): 10

Lado B₂ (Triángulo 2): 15

Otros Títulos
Entendiendo los Triángulos Semejantes: Una Guía Completa
Una mirada profunda a los principios de los triángulos semejantes, sus propiedades y cómo resolver problemas que los involucran.

¿Qué Son los Triángulos Semejantes?

  • Definición y Conceptos Fundamentales
  • Criterios de Semejanza (AA, LAL, LLL)
  • La Importancia de los Lados Correspondientes
En geometría, dos triángulos se consideran 'semejantes' si tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Esto significa que todos sus ángulos correspondientes son iguales, y sus lados correspondientes están en proporción. La razón de las longitudes de los lados correspondientes se llama 'factor de escala'.
Criterios para Probar Semejanza
Hay tres formas principales de determinar si dos triángulos son semejantes:
1. Semejanza Ángulo-Ángulo (AA): Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de otro triángulo, los triángulos son semejantes.
2. Semejanza Lado-Ángulo-Lado (LAL): Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro triángulo y sus ángulos incluidos son congruentes, los triángulos son semejantes.
3. Semejanza Lado-Lado-Lado (LLL): Si las longitudes de los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, los triángulos son semejantes.

Analogías del Mundo Real

  • Un modelo de carro y el carro real están basados en triángulos semejantes en su diseño.
  • Los planos arquitectónicos usan escalado, que se basa en los principios de semejanza.
  • Usar sombras para calcular la altura de un objeto alto.

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Triángulos Semejantes

  • Seleccionando el Lado Desconocido
  • Ingresando Valores Conocidos
  • Interpretando los Resultados
Nuestra calculadora simplifica el proceso de encontrar un lado faltante en un par de triángulos semejantes. La fórmula fundamental se basa en la proporción: A₁/A₂ = B₁/B₂.
Cómo Funciona:
1. Elige Qué Encontrar: Usa el menú desplegable para seleccionar cuál de los cuatro lados (A₁, B₁, A₂, o B₂) deseas calcular.
2. Ingresa los Conocidos: Completa los campos de entrada para las tres longitudes de lados conocidas. Asegúrate de estar ingresando las longitudes para lados correspondientes correctamente.
3. Calcula y Analiza: Haz clic en el botón 'Calcular'. La calculadora resolverá el lado desconocido usando la regla de proporcionalidad. El resultado se mostrará claramente.

Fórmulas de Cálculo

  • Para encontrar A₂, la fórmula es A₂ = (A₁ * B₂) / B₁
  • Para encontrar B₁, la fórmula es B₁ = (B₂ * A₁) / A₂

Aplicaciones del Mundo Real de los Triángulos Semejantes

  • Arquitectura e Ingeniería
  • Arte y Diseño
  • Navegación y Topografía
El concepto de triángulos semejantes no es solo un ejercicio académico; tiene numerosas aplicaciones prácticas en varios campos.
Ejemplos Prácticos:
Topografía: Los topógrafos usan triángulos semejantes para medir distancias que son difíciles de acceder directamente, como el ancho de un río o la altura de una montaña.
Arte y Perspectiva: Los artistas usan la semejanza para crear la ilusión de profundidad y distancia en una superficie plana. Los objetos que están más lejos se dibujan más pequeños, creando un conjunto de figuras semejantes.
Óptica: Las lentes y espejos forman imágenes usando los principios de triángulos semejantes para determinar el tamaño y la ubicación de la imagen.

Escenarios de Aplicación

  • Calcular la altura de un asta de bandera midiendo su sombra y la sombra de una persona de altura conocida.
  • Escalar una receta hacia arriba o hacia abajo involucra relaciones proporcionales, similares a los triángulos.
  • Crear mapas y modelos a escala.

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • Confundir Congruencia con Semejanza
  • Emparejar Incorrectamente Lados Correspondientes
  • Errores Matemáticos en Proporciones
Hay varios errores comunes que evitar al trabajar con triángulos semejantes.
Errores Clave a Evitar:
Semejanza vs. Congruencia: Los triángulos congruentes son idénticos tanto en forma como en tamaño (un factor de escala de 1). Los triángulos semejantes solo necesitan tener la misma forma. Todos los triángulos congruentes son semejantes, pero no todos los triángulos semejantes son congruentes.
Emparejar Lados: La mayor fuente de error es a menudo emparejar incorrectamente los lados correspondientes. El lado A₁ debe corresponder a A₂, y B₁ debe corresponder a B₂. Mezclarlos (ej., A₁/B₂ = B₁/A₂) llevará a resultados incorrectos. Siempre identifica qué lados están opuestos a qué ángulos iguales.

Consejos de Corrección

  • Incorrecto: A₁/B₂ = A₂/B₁. Correcto: A₁/A₂ = B₁/B₂.
  • Siempre verifica dos veces qué lado está opuesto a qué ángulo para asegurar que correspondan.

Derivación Matemática y Fórmulas

  • El Teorema de Proporcionalidad
  • Derivando la Fórmula de Multiplicación Cruzada
  • Entendiendo el Factor de Escala
Los cálculos realizados por esta herramienta se basan en la propiedad fundamental de los triángulos semejantes: la razón de los lados correspondientes es constante.
La Fórmula Central
Sea el Triángulo 1 con lados A₁ y B₁, y el Triángulo 2 con lados correspondientes A₂ y B₂. Si los triángulos son semejantes, entonces:
A₁ / A₂ = B₁ / B₂
Esta es la 'ecuación de proporcionalidad'. Para resolver cualquier lado desconocido, podemos reorganizar esta ecuación usando álgebra simple, una técnica a menudo llamada 'multiplicación cruzada'.
Derivaciones:
  • Para encontrar A₂, reorganizamos para obtener: A₂ = A₁ * (B₂ / B₁)
  • Para encontrar B₂, reorganizamos para obtener: B₂ = B₁ * (A₂ / A₁)
  • Para encontrar A₁, reorganizamos para obtener: A₁ = A₂ * (B₁ / B₂)
  • Para encontrar B₁, reorganizamos para obtener: B₁ = B₂ * (A₁ / A₂)

Ejemplos de Fórmulas

  • Si A₁=2, A₂=4, B₁=3, entonces B₂ debe ser 6 porque 2/4 = 3/6.
  • La razón A₁/A₂ es el factor de escala del Triángulo 2 al Triángulo 1. En el ejemplo anterior, es 2/4 = 0.5.