Calculadora de Valores Singulares

Álgebra Lineal y Matrices

Ingresa tu matriz para calcular sus valores singulares usando la Descomposición de Valores Singulares (SVD). La calculadora mostrará todos los valores singulares en orden descendente junto con las propiedades de la matriz.

Ingresa elementos de matriz separados por comas o espacios. Cada fila debe estar en una nueva línea.

Matrices de Ejemplo

Haz clic en cualquier ejemplo para cargarlo en la calculadora

Matriz Identidad 2×2

Matriz Identidad 2×2

Matriz identidad simple con valores singulares de 1

Dimensiones de la Matriz: 2×2

1, 0
0, 1

Matriz Diagonal 3×3

Matriz Diagonal 3×3

Matriz diagonal con valores singulares claros

Dimensiones de la Matriz: 3×3

4, 0, 0
0, 3, 0
0, 0, 2

Matriz Rectangular 2×3

Matriz Rectangular 2×3

Matriz no cuadrada para análisis SVD

Dimensiones de la Matriz: 2×3

1, 2, 3
4, 5, 6

Matriz de Hilbert 3×2

Matriz de Hilbert 3×2

Matriz bien conocida con propiedades específicas de valores singulares

Dimensiones de la Matriz: 3×2

1, 0.5
0.5, 0.333
0.333, 0.25
Otros Títulos
Entendiendo la Calculadora de Valores Singulares: Una Guía Completa
Domina los fundamentos de la Descomposición de Valores Singulares y el análisis de matrices con nuestra guía detallada

¿Qué son los Valores Singulares?

  • Definición Matemática
  • Interpretación Geométrica
  • Relación con los Valores Propios
Los valores singulares son conceptos fundamentales en álgebra lineal que surgen de la Descomposición de Valores Singulares (SVD) de matrices. Para cualquier matriz A de m×n, los valores singulares son las raíces cuadradas no negativas de los valores propios de A^T A (o AA^T, el que sea menor).
Fundamento Matemático
La Descomposición de Valores Singulares expresa cualquier matriz A como A = UΣV^T, donde U y V son matrices ortogonales, y Σ es una matriz diagonal que contiene los valores singulares σ₁ ≥ σ₂ ≥ ... ≥ σₙ ≥ 0.
Significado Geométrico
Geométricamente, los valores singulares representan cuánto estira la matriz los vectores unitarios en diferentes direcciones. El valor singular más grande indica el factor de estiramiento máximo, mientras que el más pequeño muestra el estiramiento mínimo.
Conexión con los Valores Propios
Mientras que los valores propios se aplican solo a matrices cuadradas, los valores singulares existen para cualquier matriz. Para matrices simétricas, los valores singulares son los valores absolutos de los valores propios.

Ejemplos Simples

  • Para una matriz identidad 2×2, ambos valores singulares son 1
  • Una matriz diagonal tiene valores singulares iguales a los valores absolutos de sus elementos diagonales

Guía Paso a Paso para Usar la Calculadora de Valores Singulares

  • Preparación de Entrada
  • Interfaz de la Calculadora
  • Interpretación de Resultados
Nuestra Calculadora de Valores Singulares está diseñada para hacer el cálculo SVD directo y accesible. Sigue estos pasos para obtener resultados precisos para tu análisis de matrices.
Preparando tu Entrada de Matriz
Ingresa tu matriz con cada fila en una línea separada. Separa elementos dentro de una fila usando comas o espacios. Asegúrate de que todas las filas tengan el mismo número de elementos para un formato de matriz válido.
Usando la Calculadora
Ingresa los datos de tu matriz, especifica las dimensiones si es necesario, elige tu formato de salida preferido y haz clic en 'Calcular Valores Singulares'. La herramienta validará automáticamente tu entrada y calculará la SVD.
Entendiendo la Salida
Los resultados incluyen todos los valores singulares en orden descendente, propiedades de la matriz como rango y número de condición, y varias normas de matriz. Usa estos valores para analizar las propiedades numéricas de tu matriz.

Ejemplos de Uso

  • Entrada: '1,2\n3,4' representa la matriz 2×2 [[1,2],[3,4]]
  • La salida incluye σ₁ = 5.465, σ₂ = 0.366 para este ejemplo

Aplicaciones del Mundo Real de los Valores Singulares

  • Ciencia de Datos y Aprendizaje Automático
  • Procesamiento de Señales
  • Aplicaciones de Ingeniería
Los valores singulares tienen numerosas aplicaciones prácticas en ciencia, ingeniería y análisis de datos. Entender estas aplicaciones ayuda a apreciar la importancia de SVD en métodos computacionales modernos.
Análisis de Componentes Principales (PCA)
En ciencia de datos, los valores singulares de SVD se usan en PCA para reducción de dimensionalidad. Los valores singulares más grandes corresponden a componentes principales que capturan más varianza en los datos.
Compresión y Procesamiento de Imágenes
SVD permite compresión de imágenes con pérdida al retener solo los valores singulares más grandes y sus vectores correspondientes. Esta técnica reduce el tamaño del archivo mientras preserva la calidad de la imagen.
Análisis Numérico y Estabilidad
El número de condición (ratio del valor singular más grande al más pequeño) indica qué tan sensible es un sistema lineal a errores numéricos. Esto es crucial en simulaciones de ingeniería y computación científica.

Aplicaciones Industriales

  • Los sistemas de recomendación de Netflix usan SVD para filtrado colaborativo
  • El algoritmo PageRank de Google se basa en cálculos de valores singulares
  • Los modelos de predicción del clima usan SVD para asimilación de datos

Conceptos Erróneos Comunes y Métodos Correctos

  • SVD vs Descomposición de Valores Propios
  • Problemas de Precisión Numérica
  • Errores de Interpretación
Muchos estudiantes y profesionales tienen conceptos erróneos sobre los valores singulares y su cálculo. Aclarar estos puntos asegura una comprensión y aplicación adecuadas de las técnicas SVD.
SVD No es Solo para Matrices Cuadradas
A diferencia de la descomposición de valores propios, SVD funciona para cualquier matriz, incluyendo las rectangulares. Esta es una ventaja clave que hace que SVD sea más generalmente aplicable que el análisis de valores propios.
Consideraciones de Precisión Numérica
Los valores singulares pequeños cerca de la precisión de la máquina pueden no ser confiables. Siempre considera el rango numérico en lugar del rango teórico cuando trabajes con datos reales.
Interpretación Adecuada de Resultados
Los valores singulares siempre son no negativos y ordenados del más grande al más pequeño. Los valores singulares cero indican dependencia lineal entre columnas o filas de la matriz.

Errores Comunes

  • Una matriz 3×2 puede tener como máximo 2 valores singulares no cero
  • Los números de condición por encima de 10¹² indican inestabilidad numérica potencial

Derivación Matemática y Ejemplos Avanzados

  • Resumen del Algoritmo SVD
  • Ejemplos de Matrices Complejas
  • Complejidad Computacional
El fundamento matemático de SVD involucra conceptos sofisticados de álgebra lineal. Entender la derivación ayuda a apreciar la elegancia y poder de este método de descomposición.
Fundamento Teórico
La existencia de SVD está garantizada por el teorema espectral. Para cualquier matriz A, podemos construir A^T A (o AA^T), encontrar sus valores propios y vectores propios, y derivar sistemáticamente los componentes SVD.
Algoritmos Computacionales
Los algoritmos SVD modernos usan métodos iterativos como el algoritmo Golub-Reinsch o enfoques de divide y vencerás. Estos métodos equilibran estabilidad numérica con eficiencia computacional.
Análisis de Complejidad
Calcular SVD tiene complejidad O(mn²) para una matriz m×n donde m≥n. Para matrices grandes, a menudo son necesarios algoritmos especializados y métodos de aproximación.

Ejemplos Matemáticos Avanzados

  • La matriz de Hilbert H(i,j) = 1/(i+j-1) tiene valores singulares que decrecen exponencialmente
  • Las matrices aleatorias tienen valores singulares que siguen la distribución Marchenko-Pastur