Calculateur du Carré d'un Binôme

Développez les expressions sous la forme (a ± b)²

Entrez les deux termes de votre binôme et sélectionnez l'opération pour calculer la forme développée en utilisant la formule (a ± b)² = a² ± 2ab + b².

Exemples Pratiques

Explorez ces exemples pour comprendre comment le calculateur traite différents binômes. Cliquez sur n'importe quel exemple pour le charger dans le calculateur.

Exemple 1: (x + 3)²

Addition

Un binôme simple avec une variable et une constante.

a: x

b: 3

Exemple 2: (2y - 5)²

Soustraction

Un binôme avec un coefficient sur la variable et une soustraction.

a: 2y

b: 5

Exemple 3: (4a + 2b)²

Addition

Un binôme avec deux variables différentes et des coefficients.

a: 4a

b: 2b

Exemple 4: (10 - z)²

Soustraction

Un binôme où une variable est soustraite d'une constante.

a: 10

b: z

Autres titres
Comprendre le Carré d'un Binôme : Un Guide Complet
Des formules de base aux applications du monde réel, ce guide couvre tout ce que vous devez savoir sur l'élévation au carré des binômes. Découvrez la simplicité derrière cette opération algébrique fondamentale.

Qu'est-ce que le Carré d'un Binôme ?

  • Définir un Binôme
  • Les Formules pour Élever un Binôme au Carré
  • Visualiser le Développement
L'Essence d'un Binôme
En algèbre, un binôme est un polynôme avec exactement deux termes. Ces termes sont séparés par un signe plus (+) ou moins (−). Par exemple, (x + 3) et (2y - 5) sont tous deux des binômes. Le 'bi' dans binôme signifie deux, se référant aux deux termes.
Les Formules Fondamentales
Élever un binôme au carré signifie le multiplier par lui-même. Il existe deux formules principales, souvent appelées identités remarquables, qui rendent ce processus simple sans avoir à utiliser des méthodes comme FOIL à chaque fois :

Formules Clés :

  • Pour l'addition : (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • Pour la soustraction : (a - b)² = a² - 2ab + b²

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Saisir Vos Termes
  • Sélectionner l'Opération
  • Interpréter les Résultats et les Étapes
Saisir les Termes du Binôme
Le calculateur nécessite deux entrées : 'Premier Terme (a)' et 'Deuxième Terme (b)'. Ceux-ci peuvent être des nombres (ex: 5), des variables (ex: x), ou des expressions combinant les deux (ex: 3x).
Choisir la Bonne Opération
Utilisez le menu déroulant 'Opération' pour sélectionner si votre binôme implique une addition ((a + b)²) ou une soustraction ((a - b)²). Ce choix détermine quelle formule le calculateur applique.
Comprendre la Sortie
Lors du calcul, vous recevrez l'expression développée finale et un détail des étapes. Cela inclut la substitution de vos termes dans la formule, le calcul de chaque partie (a², 2ab, b²), et leur combinaison pour obtenir la réponse finale.

Exemples Algébriques

  • (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9
  • (2y - 5)^2 = 4y^2 - 20y + 25
  • Utilisé pour compléter le carré lors de la résolution d'équations quadratiques
  • Dériver l'équation d'un cercle ou d'une parabole

Applications Réelles de l'Élévation au Carré des Binômes

  • Applications en Physique et Ingénierie
  • Utilisation dans les Calculs Financiers
  • Importance en Géométrie et Calcul d'Aire
Physique et Ingénierie
En physique, les équations cinématiques impliquent souvent des termes au carré. Par exemple, l'équation du déplacement sous accélération constante, d = v₀t + (1/2)at², peut impliquer des structures de type binôme lorsque les vitesses initiales ou les temps sont exprimés comme des sommes ou des différences.
Géométrie et Aire
Une application classique est le calcul de l'aire d'un carré dont la longueur du côté est un binôme, comme (x + 2). L'aire est (x + 2)², qui se développe en x² + 4x + 4. Cela fournit une interprétation géométrique de la formule algébrique.

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • L'Erreur Classique : (a+b)² ≠ a² + b²
  • Pourquoi la Méthode FOIL Fonctionne
  • Gérer les Termes Négatifs et la Soustraction
L'Erreur la Plus Courante
Une erreur fréquente parmi les étudiants en algèbre est de penser que (a + b)² est identique à a² + b². C'est incorrect car cela manque le terme du milieu, 2ab. Rappelez-vous, élever le binôme au carré signifie multiplier l'expression entière par elle-même : (a + b)(a + b).
La Méthode FOIL comme Fondation
La méthode FOIL (First, Outer, Inner, Last) est un moyen de se souvenir comment multiplier deux binômes. Pour (a + b)(a + b), cela fonctionne comme suit : First (aa = a²), Outer (ab = ab), Inner (ba = ab), Last (bb = b²). Combiner les termes donne a² + 2ab + b², confirmant la formule.

Dérivation Mathématique et Exemples

  • Dériver la Formule (a+b)²
  • Dériver la Formule (a-b)²
  • Exemples Travaillés avec des Termes Complexes
Dérivation de (a + b)²
La dérivation est basée sur la propriété distributive de la multiplication. (a + b)² = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
Dérivation de (a - b)²
De même, (a - b)² = (a - b)(a - b) = a(a - b) - b(a - b) = a² - ab - ba + b² = a² - 2ab + b².

Exemple avec des Coefficients :

  • Développons (3x - 4y)² :
  • a = 3x, b = 4y
  • a² = (3x)² = 9x²
  • 2ab = 2(3x)(4y) = 24xy
  • b² = (4y)² = 16y²
  • Résultat : 9x² - 24xy + 16y²