Convertisseur de Coordonnées Polaires

Basculez facilement entre les systèmes polaires (r, θ) et cartésiens (x, y).

Sélectionnez le type de conversion, entrez vos coordonnées et obtenez des résultats instantanés et précis. Utilisez les infobulles pour vous guider sur chaque saisie.

Exemples Pratiques

Explorez des scénarios courants pour comprendre comment fonctionne le calculateur.

Convertir Polaires vers Cartésiennes

Polaires vers Cartésiennes

Une conversion standard d'une coordonnée polaire avec un angle positif.

Rayon (r): 5

Angle (θ): 53.13 °

Convertir Cartésiennes vers Polaires

Cartésiennes vers Polaires

Une conversion standard d'une coordonnée cartésienne dans le premier quadrant.

Coordonnée X (x): 3

Coordonnée Y (y): 4

Convertir avec Radians

Polaires vers Cartésiennes

Utilisation des radians pour l'angle, une unité courante en mathématiques avancées.

Rayon (r): 10

Angle (θ): 0.785398 弧度

Convertir avec Coordonnées Négatives

Cartésiennes vers Polaires

Conversion depuis le troisième quadrant, où x et y sont tous deux négatifs.

Coordonnée X (x): -1

Coordonnée Y (y): -1

Autres titres
Comprendre les Coordonnées Polaires : Un Guide Complet
Une plongée approfondie dans le système de coordonnées polaires, sa relation avec le système cartésien et ses applications en science et ingénierie.

Que sont les Coordonnées Polaires et Cartésiennes ?

  • Définir les deux principaux systèmes de coordonnées 2D
  • Comprendre leurs composants fondamentaux
  • Différences clés et quand utiliser chacun
En mathématiques, nous utilisons des systèmes de coordonnées pour déterminer de manière unique la position d'un point. Les deux systèmes les plus courants pour un plan bidimensionnel sont les systèmes de coordonnées cartésiennes et polaires.
Le Système de Coordonnées Cartésiennes
Le système cartésien, nommé d'après René Descartes, décrit un point en utilisant deux axes perpendiculaires : l'axe horizontal x et l'axe vertical y. Un point est identifié par une paire ordonnée (x, y), représentant ses distances signées depuis l'axe y et l'axe x, respectivement. Cette grille rectangulaire est intuitive pour représenter des relations linéaires et des formes géométriques comme les carrés et rectangles.
Le Système de Coordonnées Polaires
Le système polaire décrit la position d'un point en utilisant une distance et un angle. Chaque point est identifié par une paire ordonnée (r, θ), où 'r' est la distance radiale depuis un point central appelé le pôle (ou origine), et 'θ' (thêta) est l'angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre depuis un rayon fixe, l'axe polaire (généralement aligné avec l'axe x positif).

Représentation des Systèmes

  • Cartésiennes : Le point (3, 4) est à 3 unités à droite et 4 unités vers le haut.
  • Polaires : Le point (5, 53,13°) est à 5 unités de l'origine à un angle de 53,13 degrés.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur de Coordonnées Polaires

  • Sélectionner votre type de conversion
  • Saisir correctement vos valeurs de coordonnées
  • Interpréter précisément les résultats calculés
Ce calculateur simplifie le processus de conversion. Suivez ces étapes pour des résultats précis.
1. Choisissez Votre Direction de Conversion
Commencez par sélectionner votre conversion souhaitée dans le menu déroulant 'Type de Conversion'. Choisissez 'Polaires vers Cartésiennes' si vous avez des valeurs (r, θ), ou 'Cartésiennes vers Polaires' si vous avez des valeurs (x, y).
2. Sélectionnez l'Unité d'Angle (pour les Entrées Polaires)
Si vous convertissez des polaires vers cartésiennes, vous devez spécifier si votre angle (θ) est en 'Degrés' ou 'Radians'. Le calculateur retournera également l'angle dans cette unité sélectionnée lors de la conversion de cartésiennes vers polaires.
3. Saisissez Vos Coordonnées
Remplissez les champs de saisie correspondants selon votre type de conversion choisi. Assurez-vous que le rayon 'r' est un nombre non négatif.
4. Calculez et Visualisez les Résultats
Cliquez sur le bouton 'Calculer'. Les résultats apparaîtront dans la carte 'Résultat', montrant les coordonnées converties. Vous pouvez facilement copier les résultats en utilisant le bouton de copie.

Scénarios d'Utilisation

  • Saisir r=10, θ=90, unité=degrés pour Polaires vers Cartésiennes.
  • Saisir x=-5, y=5 pour Cartésiennes vers Polaires.

Dérivation Mathématique et Formules

  • Les fondements trigonométriques de la conversion
  • Formules pour Polaires vers Cartésiennes
  • Formules pour Cartésiennes vers Polaires
La conversion entre coordonnées polaires et cartésiennes est basée sur la trigonométrie du triangle rectangle.
De Polaires (r, θ) vers Cartésiennes (x, y)
En formant un triangle rectangle avec le pôle, le point (r, θ), et sa projection sur l'axe x, nous pouvons utiliser les définitions trigonométriques de base (SOH CAH TOA). L'hypoténuse est 'r', et l'angle est 'θ'. Le côté adjacent est 'x' et le côté opposé est 'y'.
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
De Cartésiennes (x, y) vers Polaires (r, θ)
Pour trouver 'r', nous utilisons le théorème de Pythagore sur le même triangle rectangle :
r = √(x² + y²)
Pour trouver l'angle 'θ', nous utilisons la fonction arctangente. La fonction atan2(y, x) est préférée à atan(y/x) car elle gère correctement tous les quatre quadrants.
θ = atan2(y, x)

Application des Formules

  • Pour (r=2, θ=30°) : x = 2 * cos(30°) = 1,732, y = 2 * sin(30°) = 1.
  • Pour (x=3, y=4) : r = √(3² + 4²) = 5, θ = atan2(4, 3) = 53,13°.

Applications Réelles des Coordonnées Polaires

  • Applications en Physique et Ingénierie
  • Utilisation en Graphisme Informatique et Robotique
  • Pertinence en Navigation et Astronomie
Les coordonnées polaires ne sont pas seulement un concept académique ; elles sont essentielles dans de nombreux domaines pratiques.
Physique et Ingénierie
En physique, les coordonnées polaires sont idéales pour décrire des objets se déplaçant en cercles, comme les planètes en orbite ou une voiture sur une piste circulaire. Elles sont également fondamentales dans l'analyse de champs qui ont une source centrale, comme les champs électromagnétiques ou gravitationnels.
Les ingénieurs les utilisent pour décrire les diagrammes de rayonnement des antennes et microphones, où la force du signal varie avec l'angle.
Graphisme Informatique et Robotique
En graphisme informatique, faire pivoter un objet autour d'un point d'appui est beaucoup plus simple en utilisant les coordonnées polaires. Elles sont également utilisées pour créer des motifs circulaires ou en spirale. En robotique, la position d'un bras robotique est souvent définie par un angle et une longueur d'extension, une application directe des coordonnées polaires.

Domaines Pratiques

  • Un écran radar montrant la position d'un avion par sa distance et son relèvement (angle).
  • Un programme CAO faisant pivoter un composant d'un angle spécifique.

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • L'unicité des coordonnées polaires
  • Gestion des angles et rayons négatifs
  • Choisir la bonne fonction arctangente
Bien que puissantes, les coordonnées polaires ont des nuances qui peuvent mener à la confusion.
Les Coordonnées Polaires sont-elles Uniques ?
Contrairement aux coordonnées cartésiennes, la représentation polaire d'un point n'est pas unique. Par exemple, le point (r, θ) peut aussi être représenté comme (r, θ + 360°) ou (r, θ - 360°). Le pôle (origine) lui-même est (0, θ) pour n'importe quel angle θ. Ce calculateur fournit la valeur principale pour l'angle, typiquement dans la plage [0, 360°) ou [0, 2π).
L'Importance de atan2(y, x)
Une erreur courante est de calculer θ en utilisant atan(y/x). Cette fonction ne retourne que des valeurs entre -90° et +90°, ne parvenant pas à distinguer entre les quadrants diagonalement opposés (ex: I et III). La fonction atan2(y, x) considère les signes de x et y pour retourner l'angle correct dans la plage complète de 360°, c'est pourquoi elle est essentielle pour des conversions précises.

Éviter les Pièges

  • Pour (x=-1, y=-1), `atan(-1/-1)` = `atan(1)` = 45°, ce qui est incorrect. `atan2(-1, -1)` = -135° ou 225°, ce qui est correct.
  • Le point (5, 90°) est le même que (5, 450°).