Calculateur de Coordonnées Sphériques

Convertir entre les coordonnées cartésiennes (x,y,z) et sphériques (r, θ, φ)

Sélectionnez votre type de conversion, saisissez les coordonnées et obtenez des résultats instantanés et précis. Cet outil est essentiel pour les applications en physique, ingénierie et mathématiques.

Exemples

Cliquez sur un exemple pour le charger dans le calculateur.

Convertir Point Cartésien

Cartésien vers Sphérique

Convertir un point cartésien standard vers son équivalent sphérique.

x: 3

y: 4

z: 5

Point cartésien standard

Point sur l'Axe Z

Cartésien vers Sphérique

Convertir un point situé directement sur l'axe Z.

x: 0

y: 0

z: 10

Point sur l'axe Z

Convertir Point Sphérique

Sphérique vers Cartésien

Convertir un point sphérique standard vers son équivalent cartésien.

r: 10

θ: 60°

φ: 45°

Point sphérique standard

Point sur le Plan XY

Sphérique vers Cartésien

Convertir un point sphérique où l'angle polaire est de 90 degrés.

r: 5

θ: 90°

φ: 30°

Point sur le plan XY

Autres titres
Comprendre les Coordonnées Sphériques : Un Guide Complet
Explorez les fondamentaux du système de coordonnées sphériques et apprenez à convertir de manière transparente entre les représentations cartésiennes et sphériques.

Que sont les Coordonnées Sphériques ? Concepts Fondamentaux

  • Un système 3D utilisant la distance et deux angles pour définir un point
  • Comprend le rayon (r), l'angle polaire (θ) et l'angle azimutal (φ)
  • Idéal pour représenter des sphères, cônes et autres formes symétriques
Le système de coordonnées sphériques est un cadre tridimensionnel pour localiser des points dans l'espace en utilisant une combinaison d'une distance et de deux angles. Contrairement aux axes linéaires (x, y, z) du système cartésien, le système sphérique offre une façon plus naturelle de décrire des objets avec une symétrie sphérique.
Les Trois Composantes
1. Rayon (r) : Aussi appelé distance radiale, 'r' est la distance depuis l'origine (0,0,0) jusqu'au point. Il est toujours non négatif (r ≥ 0).
2. Angle Polaire (θ) : Souvent appelé inclinaison ou colatitude, 'θ' (thêta) est l'angle mesuré depuis l'axe Z positif jusqu'au vecteur du point. Sa valeur varie de 0° à 180° (ou 0 à π radians).
3. Angle Azimutal (φ) : Aussi appelé azimut, 'φ' (phi) est l'angle mesuré depuis l'axe X positif dans le plan XY jusqu'à la projection du vecteur du point sur ce plan. Il varie de 0° à 360° (ou 0 à 2π radians).

Exemples de Coordonnées Clés

  • Origine : (r=0, θ=indéfini, φ=indéfini)
  • Point sur l'axe +Z : (r=k, θ=0°, φ=indéfini)
  • Point sur l'axe +X : (r=k, θ=90°, φ=0°)
  • Point sur l'axe +Y : (r=k, θ=90°, φ=90°)

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Sélectionnez votre direction de conversion souhaitée
  • Saisissez les coordonnées connues et choisissez votre unité d'angle
  • Interprétez les résultats calculés avec précision
Notre calculateur simplifie le processus de conversion en quelques étapes faciles, vous assurant d'obtenir des résultats précis rapidement.
1. Choisir le Type de Conversion
Commencez par sélectionner si vous voulez convertir de 'Cartésien vers Sphérique' ou 'Sphérique vers Cartésien' dans le menu déroulant. Les champs de saisie s'ajusteront en conséquence.
2. Sélectionner l'Unité d'Angle
Choisissez 'Degrés' ou 'Radians' dans le sélecteur d'unité d'angle. Ce choix affecte à la fois la façon dont vous saisissez les angles (pour Sphérique vers Cartésien) et la façon dont les résultats sont affichés (pour Cartésien vers Sphérique).
3. Saisir Vos Coordonnées
  • Pour Cartésien vers Sphérique : Remplissez les champs de saisie x, y et z.
  • Pour Sphérique vers Cartésien : Remplissez les champs r (rayon), θ (angle polaire) et φ (angle azimutal), en vous assurant que les angles correspondent à votre unité sélectionnée.
4. Calculer et Voir les Résultats
Cliquez sur le bouton 'Calculer'. Les coordonnées converties apparaîtront dans la section 'Résultat'. Vous pouvez utiliser le bouton 'Réinitialiser' pour effacer tous les champs et commencer un nouveau calcul.

Exemples d'Utilisation Pratique

  • Cartésien vers Sphérique : Entrée x=1, y=1, z=1 avec Degrés -> r=1.732, θ=54.74°, φ=45°
  • Sphérique vers Cartésien : Entrée r=1, θ=90, φ=90 avec Degrés -> x=0, y=1, z=0

Dérivation Mathématique et Formules

  • Les formules de conversion sont dérivées de la trigonométrie
  • Comprendre la relation entre les deux systèmes
  • Équations clés pour les deux directions de conversion
La conversion entre les coordonnées cartésiennes et sphériques est basée sur la trigonométrie du triangle rectangle. En projetant le point sur le plan XY, nous pouvons former deux triangles rectangles qui relient (x, y, z) à (r, θ, φ).
Conversion Cartésien vers Sphérique
Étant donné un point (x, y, z) :
  • Rayon (r) est trouvé en utilisant le théorème de Pythagore 3D : r = √(x² + y² + z²)
  • Angle Polaire (θ) est trouvé en utilisant l'arccosinus de la coordonnée z divisée par le rayon : θ = arccos(z / r)
  • Angle Azimutal (φ) est trouvé en utilisant l'arctangente de y sur x : φ = arctan(y / x). Il faut faire attention à placer l'angle dans le bon quadrant, souvent en utilisant une fonction atan2(y, x).
Conversion Sphérique vers Cartésien
Étant donné un point (r, θ, φ) :
  • coordonnée x : x = r * sin(θ) * cos(φ)
  • coordonnée y : y = r * sin(θ) * sin(φ)
  • coordonnée z : z = r * cos(θ)

Application des Formules

  • Exemple : (x=1, y=√3, z=2). r = √(1² + (√3)² + 2²) = √8 = 2√2. θ = arccos(2 / 2√2) = 45°. φ = arctan(√3 / 1) = 60°.
  • Exemple : (r=4, θ=30°, φ=60°). x = 4 * sin(30) * cos(60) = 4 * 0.5 * 0.5 = 1. y = 4 * sin(30) * sin(60) = 4 * 0.5 * (√3/2) = √3. z = 4 * cos(30) = 4 * (√3/2) = 2√3.

Applications Réelles des Coordonnées Sphériques

  • Utilisées largement en physique, ingénierie et géographie
  • Simplifie les problèmes avec symétrie sphérique
  • Fondamental pour GPS, astronomie et modélisation 3D
Le système de coordonnées sphériques n'est pas seulement une curiosité mathématique ; c'est un outil puissant utilisé dans de nombreux domaines scientifiques et techniques.
Physique et Ingénierie
  • Électromagnétisme : Décrire les champs électromagnétiques et les diagrammes de rayonnement des antennes est beaucoup plus simple en coordonnées sphériques.
  • Mécanique Quantique : Les fonctions d'onde des électrons dans les atomes (orbitales atomiques) sont exprimées en coordonnées sphériques.
  • Dynamique des Fluides : Analyser l'écoulement de fluide autour d'un objet sphérique.
Géographie et Astronomie
  • Système de Positionnement Global (GPS) : Le système de coordonnées géographiques de la Terre (latitude et longitude) est une application directe des coordonnées sphériques. La latitude correspond à l'angle polaire (θ) et la longitude à l'angle azimutal (φ).
  • Cartographie Céleste : Les astronomes utilisent des systèmes de coordonnées célestes, qui sont analogues aux coordonnées sphériques, pour cartographier les positions des étoiles et des galaxies.
Graphisme Informatique et Robotique
  • Modélisation 3D : Utilisé pour modéliser des objets sphériques et créer des effets d'éclairage qui rayonnent depuis une source ponctuelle.
  • Robotique : Définir la position et l'orientation des bras robotiques qui ont des articulations rotatives.

Exemples Industriels

  • Concevoir une antenne parabolique pour focaliser les signaux.
  • Calculer le champ gravitationnel d'une planète.
  • Tracer la trajectoire de vol d'un avion intercontinental.

Idées Fausses Courantes et Cas Particuliers

  • Clarifier les conventions pour les angles θ et φ
  • Gérer les angles indéfinis à l'origine et sur l'axe Z
  • Distinguer entre les conventions mathématiques et physiques
Bien que puissant, le système de coordonnées sphériques a des nuances qui peuvent mener à la confusion. Comprendre celles-ci est essentiel pour l'utiliser correctement.
L'Origine (0,0,0)
À l'origine cartésienne, le rayon r est 0. Dans ce cas, à la fois l'angle polaire θ et l'angle azimutal φ sont indéfinis car il n'y a pas de direction vectorielle unique de l'origine vers elle-même.
Points sur l'Axe Z
Pour tout point sur l'axe Z (où x=0 et y=0), l'angle azimutal φ est indéfini. C'est parce que la projection du point sur le plan XY est l'origine, et il n'y a pas d'angle clair depuis l'axe X. Par convention, il est souvent défini à 0.
Convention Math vs Physique
Il est crucial d'être conscient des différentes conventions. Ce calculateur utilise la convention mathématique standard où θ est l'inclinaison depuis l'axe Z et φ est l'azimut depuis l'axe X. En physique, les rôles de θ et φ sont souvent échangés, où θ devient l'azimut et φ l'inclinaison. Vérifiez toujours la convention utilisée dans votre contexte.

Scénarios de Cas Limites

  • Entrée : (x=0, y=0, z=5) -> r=5, θ=0°, φ est indéfini (souvent affiché comme 0°).
  • Entrée : (x=0, y=0, z=-5) -> r=5, θ=180°, φ est indéfini (souvent affiché comme 0°).
  • Attention : Certains systèmes définissent θ depuis le plan XY, pas l'axe Z.