Décomposition en Fractions Partielles

Décompose les expressions rationnelles en fractions plus simples et gérables.

Entrez les polynômes numérateur et dénominateur ci-dessous pour obtenir le développement en fractions partielles. Le degré du numérateur doit être inférieur au degré du dénominateur.

Exemples

Cliquez sur un exemple pour le charger dans le calculateur.

Facteurs Linéaires Distincts

distinct-linear

Un cas simple où le dénominateur se factorise en termes linéaires uniques.

Numérateur: 5x - 4

Dénominateur: x^2 - x - 2

Facteurs Linéaires Distincts (Cubique)

distinct-linear-cubic

Un dénominateur cubique qui se factorise en trois termes linéaires uniques.

Numérateur: x^2 + 12x + 12

Dénominateur: x^3 - 4x

Numérateur avec Constante

improper-requires-division

Un cas avec une constante dans le numérateur.

Numérateur: 1

Dénominateur: x^2 + x

Numérateur de Degré Supérieur

complex-case

Un cas plus complexe avec un numérateur quadratique.

Numérateur: 8x^2 - 3x + 10

Dénominateur: x^3 - 2x^2 + 4x - 8

Autres titres
Comprendre la Décomposition en Fractions Partielles : Un Guide Complet
Maîtrisez l'art de décomposer les fonctions rationnelles complexes en composants plus simples pour une intégration et une analyse plus faciles.

Qu'est-ce que la Décomposition en Fractions Partielles ?

  • Décomposer les expressions rationnelles complexes.
  • Une technique cruciale en calcul et ingénierie.
  • Simplifier les fractions pour l'analyse.
La décomposition en fractions partielles est une procédure en algèbre utilisée pour exprimer une fonction rationnelle (une fraction de deux polynômes) comme une somme de fractions plus simples. Cette technique est inestimable car ces fractions plus simples sont souvent plus faciles à manipuler, surtout lors de l'exécution d'intégrations ou de transformations de Laplace inverses.
Pour que la décomposition soit possible, le degré du polynôme numérateur doit être inférieur au degré du polynôme dénominateur. Si ce n'est pas le cas, il faut d'abord effectuer une division polynomiale longue.
La Forme des Fractions Partielles
La forme de la décomposition en fractions partielles dépend entièrement des facteurs du dénominateur. Les cas principaux sont :
• Facteurs Linéaires Distincts : Pour chaque facteur (ax+b), la décomposition contient un terme A/(ax+b).
• Facteurs Linéaires Répétés : Pour chaque facteur (ax+b)^k, la décomposition contient les termes A₁/(ax+b) + A₂/(ax+b)² + ... + Aₖ/(ax+b)ᵏ.
• Facteurs Quadratiques Irréductibles : Pour chaque facteur (ax²+bx+c), la décomposition contient un terme (Ax+B)/(ax²+bx+c).

Formes de Décomposition Courantes

  • 1 / (x-2)(x+1) -> A/(x-2) + B/(x+1)
  • x / (x-3)^2 -> A/(x-3) + B/(x-3)^2

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Saisir correctement vos polynômes.
  • Interpréter les résultats calculés.
  • Utiliser les exemples pour commencer rapidement.
Notre calculateur simplifie le processus de décomposition. Suivez ces étapes simples pour obtenir votre résultat.
Saisie des Polynômes
Entrez les polynômes numérateur et dénominateur dans leurs champs respectifs. Utilisez 'x' comme variable. Les exposants sont notés avec le symbole accent circonflexe '^'. Par exemple, '2x^2 + 3x - 5'.
Calcul et Résultats
Après avoir saisi les polynômes, cliquez sur le bouton 'Calculer'. L'outil affichera les fractions partielles décomposées. S'il y a des problèmes avec votre saisie, comme un degré de numérateur trop élevé, un message d'erreur vous guidera.

Exemples d'Utilisation

  • Numérateur : 'x', Dénominateur : 'x^2 - 1'
  • Résultat : 0.5/(x-1) + 0.5/(x+1)

Applications Réelles

  • Résoudre des intégrales complexes en calcul.
  • Analyser les systèmes de contrôle en ingénierie.
  • Modélisation en physique et chimie.
La décomposition en fractions partielles n'est pas seulement un exercice académique ; elle a de nombreuses applications pratiques.
Calcul et Intégration
L'application la plus courante est en calcul, pour trouver l'intégrale d'une fonction rationnelle. En la décomposant en parties plus simples, chaque partie peut être intégrée en utilisant des règles de base, comme la règle du logarithme ou la règle de puissance.
Ingénierie et Théorie du Contrôle
En ingénierie des systèmes de contrôle, les fonctions de transfert sont souvent des fonctions rationnelles dans la variable complexe 's'. Décomposer ces fonctions est une étape clé dans l'analyse du comportement du système et la conception de contrôleurs. Elle est largement utilisée avec la transformation de Laplace inverse pour trouver la réponse temporelle d'un système.

Exemples d'Applications

  • Intégrale de (5x-4)/(x^2-x-2) dx
  • Trouver la transformation de Laplace inverse de F(s) = (s+1)/(s^2+3s+2)

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • Gérer les fonctions rationnelles impropres.
  • Former correctement la décomposition.
  • Résoudre pour les coefficients inconnus.
Il y a plusieurs pièges courants lors de l'exécution manuelle de la décomposition en fractions partielles.
Fractions Impropres
Une erreur fréquente est d'essayer de décomposer directement une fonction rationnelle impropre (où le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur). La première étape correcte est toujours d'effectuer une division polynomiale longue.
Résolution des Coefficients
Une fois la forme établie, trouver les coefficients (A, B, C, etc.) peut être fait soit en substituant des valeurs stratégiques pour x (comme les racines du dénominateur) soit en développant l'expression et en égalant les coefficients des puissances similaires de x. La première méthode est souvent plus rapide et est connue sous le nom de méthode de couverture de Heaviside pour les racines linéaires distinctes.

Exemples de Correction

  • Pour (x^3)/(x^2-1), d'abord diviser pour obtenir x + x/(x^2-1), puis décomposer le reste.
  • Pour résoudre A dans A/(x-r), multiplier par (x-r) puis substituer x=r.

Dérivation Mathématique et Théorie

  • La théorie derrière la décomposition.
  • Preuve d'existence et d'unicité.
  • La méthode de couverture de Heaviside expliquée.
La possibilité de décomposer une fonction rationnelle est garantie par un théorème en algèbre qui énonce que toute fonction rationnelle propre peut être écrite comme une somme unique de fractions partielles.
La Méthode de Couverture de Heaviside
Pour une fonction rationnelle propre P(x)/Q(x) où Q(x) a des facteurs linéaires distincts (x - r₁)(x - r₂)...(x - rₙ), la décomposition est A₁/(x-r₁) + ... + Aₙ/(x-rₙ). Le coefficient Aₖ peut être trouvé en 'couvrant' le facteur (x - rₖ) dans la fraction originale et en évaluant le reste à x = rₖ.
Mathématiquement, Aₖ = P(rₖ) / Q'(rₖ), où Q'(x) est la dérivée de Q(x). Cela fournit un moyen rapide de trouver les coefficients sans résoudre un grand système d'équations linéaires.

Exemple de Méthode

  • Pour trouver A pour 1/((x-2)(x+1)) = A/(x-2) + B/(x+1), calculer A = 1/(2+1) = 1/3.