Calculateur de Forme d'Étoile

Déterminez les propriétés d'un polygone étoilé régulier.

Entrez les paramètres de l'étoile ci-dessous pour calculer son aire, son périmètre et son angle intérieur.

Exemples Pratiques

Cliquez sur un exemple pour charger ses données dans le calculateur.

Classic 5-Point Star (Pentagram)

Étoile Classique à 5 Pointes (Pentagramme)

Un pentagramme standard, souvent vu dans les drapeaux et symboles.

Points (n): 5

Rayon Extérieur (R): 10

Rayon Intérieur (r): 3.8

6-Point Star (Hexagram)

Étoile à 6 Pointes (Hexagramme)

Un hexagramme, également connu sous le nom d'Étoile de David.

Points (n): 6

Rayon Extérieur (R): 10

Rayon Intérieur (r): 5.8

Sharp 7-Point Star

Étoile à 7 Pointes Aiguë

Un heptagramme avec un petit rayon intérieur, créant des pointes aiguës.

Points (n): 7

Rayon Extérieur (R): 12

Rayon Intérieur (r): 4

Full 8-Point Star

Étoile à 8 Pointes Pleine

Un octagramme avec un grand rayon intérieur, le faisant paraître plus plein.

Points (n): 8

Rayon Extérieur (R): 10

Rayon Intérieur (r): 7

Autres titres
Comprendre le Calculateur de Forme d'Étoile : Un Guide Complet
Un aperçu approfondi de la géométrie des polygones étoilés, leurs propriétés et comment les calculer.

Qu'est-ce qu'un Polygone Étoilé ?

  • Définition d'un Polygone Étoilé
  • Paramètres Clés : Points et Rayons
  • Visualiser la Forme
Un polygone étoilé est un type de polygone non convexe. Les polygones étoilés réguliers sont créés en connectant les sommets d'un polygone simple et régulier à n côtés. La forme est définie par le nombre de points (n), un rayon extérieur (R) qui touche les pointes de l'étoile, et un rayon intérieur (r) qui touche les sommets intérieurs (vallées) de l'étoile.
Paramètres Clés
Nombre de Points (n) : Ceci détermine la forme fondamentale de l'étoile (ex., n=5 pour un pentagramme). Pour une étoile valide, n doit être 5 ou plus. Rayon Extérieur (R) : La distance du centre à n'importe quelle pointe extérieure. Rayon Intérieur (r) : La distance du centre à n'importe quel sommet intérieur. Pour une étoile valide, r doit être inférieur à R.

Types d'Étoiles Communs

  • Pentagramme (5 points)
  • Hexagramme (6 points)
  • Heptagramme (7 points)

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Saisir le Nombre de Points
  • Définir les Rayons
  • Interpréter les Résultats
Utiliser le Calculateur de Forme d'Étoile est simple. Suivez ces étapes pour obtenir les propriétés géométriques de votre étoile.
1. Entrer le Nombre de Points (n)
Saisissez le nombre de points souhaité pour votre étoile. Ce doit être un nombre entier et au moins 5.
2. Entrer les Rayons Extérieur et Intérieur (R et r)
Fournissez les longueurs pour les rayons extérieur et intérieur. Les deux doivent être des nombres positifs, et le rayon intérieur (r) doit être plus petit que le rayon extérieur (R) pour former une forme d'étoile valide.
3. Calculer et Analyser
Cliquez sur le bouton 'Calculer'. L'outil fournira instantanément l'aire totale de l'étoile, son périmètre et l'angle à chacun de ses points.

Exemples d'Entrées

  • n=5, R=10, r=4
  • n=8, R=20, r=15

Formules Mathématiques Derrière les Calculs

  • Calculer l'Aire
  • Calculer le Périmètre
  • Calculer l'Angle Intérieur
Le calculateur utilise des formules géométriques standard pour déterminer les propriétés d'un polygone étoilé régulier à partir de ses rayons et du nombre de points.
Formule de l'Aire
L'aire de l'étoile est calculée en la traitant comme une série de 2n triangles avec leurs sommets au centre, un point extérieur et un point intérieur adjacent. La formule est : Aire = n × R × r × sin(π / n).
Formule du Périmètre
Le périmètre est la longueur totale de la frontière extérieure de l'étoile. Il se compose de 2n segments égaux connectant les sommets intérieurs et extérieurs. La longueur d'un segment est trouvée en utilisant la Loi des Cosinus : l = √(R² + r² - 2Rr cos(π/n)). Le périmètre total est 2n × l.
Formule de l'Angle Intérieur
L'angle à chaque point extérieur de l'étoile est également calculé en utilisant la Loi des Cosinus sur le triangle formé par un point extérieur et ses deux sommets intérieurs adjacents. La formule pour l'angle (α) est : α = arccos(1 - (2r sin(π/n))² / (2l²)), où l est la longueur du segment.

Composants de Formule

  • n = Nombre de points
  • R = Rayon Extérieur
  • r = Rayon Intérieur

Applications Réelles des Formes d'Étoiles

  • Symbolisme et Vexillologie (Drapeaux)
  • Art et Design
  • Architecture et Décoration
Les polygones étoilés ne sont pas seulement des figures géométriques abstraites ; ils se trouvent dans de nombreux aspects de la culture et du design humains.
Drapeaux et Symboles
L'application la plus courante est dans la vexillologie. Les étoiles sur les drapeaux nationaux représentent souvent des États, l'unité ou des principes directeurs. Le pentagramme et l'hexagramme sont des symboles puissants dans diverses cultures et systèmes de croyances.
Design et Architecture
En design graphique, les étoiles sont utilisées pour attirer l'attention, évaluer la qualité ou ajouter une touche festive. En architecture, les motifs d'étoiles peuvent être trouvés dans les designs de fenêtres (rosaces), les carrelages de sol et les éléments décoratifs, surtout dans les bâtiments historiques et religieux.

Domaines d'Application

  • Drapeaux nationaux (USA, Australie, etc.)
  • Logos d'entreprise
  • Décorations de fêtes

Questions Fréquemment Posées (FAQ)

  • Quelle est la différence entre un polygone étoilé et un polygone en forme d'étoile ?
  • Pourquoi l'étoile a-t-elle besoin d'au moins 5 points ?
  • Qu'est-ce que le pentagramme du 'nombre d'or' ?
Une étoile peut-elle avoir 4 points ?
Géométriquement, une étoile à 4 pointes est typiquement juste deux lignes qui se croisent ou un composé de deux digones, et ne forme pas une frontière continue comme un polygone étoilé. Par conséquent, ce calculateur nécessite 5 points ou plus pour définir un polygone étoilé valide.
Qu'est-ce qu'un pentagramme du 'nombre d'or' ?
Un type spécial d'étoile à 5 pointes (pentagramme) est celui où le rapport du rayon extérieur à la longueur d'un segment est le nombre d'or (φ ≈ 1,618). Ceci crée une forme particulièrement harmonieuse et esthétiquement plaisante, trouvée fréquemment dans l'art et la nature. Cela se produit quand le rapport du rayon intérieur au rayon extérieur (r/R) est approximativement 0,382.