Calculateur de Système d'Équations

Résolvez des systèmes d'équations linéaires facilement

Entrez les coefficients de vos équations pour trouver la solution des variables. Cet outil prend en charge les systèmes 2x2.

Équation 1 : a₁x + b₁y = c₁

Équation 2 : a₂x + b₂y = c₂

Exemples

Cliquez sur un exemple pour le charger dans le calculateur.

Cas Simple

2x2

Un système 2x2 standard avec une solution entière unique.

Équation 1: 2x + 3y = 8

Équation 2: 1x + -1y = -1

Coefficients Décimaux

2x2

Système impliquant des nombres décimaux.

Équation 1: 0.5x + 2.5y = 6.5

Équation 2: 1.5x + -0.5y = 3.5

Nombres Négatifs

2x2

Système avec des coefficients et constantes négatifs.

Équation 1: -3x + 1y = -5

Équation 2: 1x + -2y = 4

Cas Sans Solution Unique

2x2

Un système où les lignes sont parallèles (déterminant est zéro).

Équation 1: 2x + 4y = 10

Équation 2: 1x + 2y = 6

Autres titres
Comprendre le Calculateur de Système d'Équations : Un Guide Complet
Explorez les méthodes pour résoudre des équations linéaires, leurs applications et les principes mathématiques qui les sous-tendent.

Qu'est-ce qu'un Système d'Équations Linéaires ?

  • Définir un système d'équations linéaires
  • Comprendre les variables, coefficients et constantes
  • Visualiser les solutions comme points d'intersection
Un système d'équations linéaires est une collection de deux ou plusieurs équations linéaires impliquant le même ensemble de variables. Pour qu'un système ait une solution unique, il doit y avoir au moins autant d'équations que de variables. Ces systèmes sont des outils fondamentaux en mathématiques, ingénierie et science.
Dans un système 2x2, vous avez deux équations et deux variables (commonly x et y). Chaque équation représente une ligne droite sur un graphique. La solution du système est le point (x, y) où ces deux lignes se croisent.
Composants d'une Équation
Une équation comme 'ax + by = c' se compose de : Variables (x, y), Coefficients (a, b), et une Constante (c). Le calculateur résout pour les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations simultanément.

Formes de Systèmes Linéaires

  • Système 2x2 : 2x + 3y = 8, x - y = -1
  • Système 3x3 : x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 2
  • Système Incohérent (Aucune Solution) : x + y = 1, x + y = 2 (Lignes parallèles)
  • Système Dépendant (Solutions Infinies) : x + y = 1, 2x + 2y = 2 (Même ligne)

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur de Système d'Équations

  • Sélectionner le bon type de système
  • Entrer les coefficients et constantes avec précision
  • Interpréter les résultats calculés
Notre calculateur simplifie le processus de résolution d'équations linéaires. Suivez ces étapes pour une solution précise.
Directives d'Entrée
1. Sélectionner le Type de Système : Actuellement, le calculateur prend en charge les systèmes 2x2. Cela signifie deux équations et deux variables.
2. Entrer les Coefficients : Pour chaque équation, saisissez les coefficients (a₁, b₁, a₂, b₂) et les constantes (c₁, c₂) dans leurs champs respectifs. Vous pouvez utiliser des entiers, des décimaux ou des nombres négatifs.
3. Calculer : Cliquez sur le bouton 'Calculer'. L'outil traitera les entrées et affichera les résultats instantanément.
Comprendre la Sortie
La section 'Solution' affichera les valeurs pour les variables 'x' et 'y'. Si une solution unique n'existe pas, le calculateur vous informera si le système n'a aucune solution (lignes parallèles) ou des solutions infinies (lignes coïncidentes).

Exemples d'Entrée Pratiques

  • Pour le système 'x + 2y = 5' et '3x - y = 1', vous entreriez : a1=1, b1=2, c1=5, a2=3, b2=-1, c2=1.
  • Si une équation est '2x = 6', c'est '2x + 0y = 6'. Donc, vous entreriez b=0.

Méthodes pour Résoudre des Systèmes d'Équations

  • La Méthode de Substitution
  • La Méthode d'Élimination
  • La Méthode Matricielle (Règle de Cramer)
Plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Notre calculateur utilise principalement la Méthode Matricielle (spécifiquement la Règle de Cramer) pour son efficacité en calcul.
Méthode de Substitution
Cela implique de résoudre une équation pour une variable puis de substituer cette expression dans l'autre équation. Cela réduit le système à une seule équation avec une variable, qui est facilement résolue.
Méthode d'Élimination
Cette méthode implique d'ajouter ou de soustraire les équations pour éliminer une des variables. Vous devrez peut-être multiplier une ou les deux équations par une constante pour rendre les coefficients d'une variable opposés.
Méthode Matricielle (Règle de Cramer)
C'est une méthode puissante pour les systèmes plus grands. Elle implique d'utiliser les déterminants de matrices pour trouver la solution. Pour un système 2x2 'ax + by = e' et 'cx + dy = f', le déterminant est D = ad - bc. Si D n'est pas zéro, il y a une solution unique donnée par x = (ed - bf) / D et y = (af - ec) / D. C'est la méthode que notre calculateur utilise.

Application de Méthode

  • Substitution : De 'x - y = -1', nous obtenons 'x = y - 1'. Substituons ceci dans '2x + 3y = 8' pour obtenir '2(y-1) + 3y = 8'.
  • Élimination : Pour '2x + 3y = 8' et 'x - y = -1', multipliez la deuxième équation par 3 pour obtenir '3x - 3y = -3'. Ajoutez les deux équations pour éliminer 'y'.

Applications Réelles des Systèmes d'Équations

  • Économie et Commerce
  • Ingénierie et Physique
  • Chimie et Problèmes de Mélange
Les systèmes d'équations ne sont pas seulement un exercice académique ; ils sont utilisés pour modéliser et résoudre des problèmes complexes dans divers domaines.
Économie
Les économistes utilisent des systèmes d'équations pour modéliser l'offre et la demande, déterminant le prix et la quantité d'équilibre où les deux courbes se croisent.
Ingénierie
En ingénierie électrique, les systèmes d'équations sont utilisés pour analyser les circuits. Les lois de Kirchhoff pour le courant et la tension résultent en un système d'équations linéaires qui peut être résolu pour trouver les courants circulant dans différentes parties du circuit.
Finance
Les analystes financiers utilisent des systèmes d'équations pour créer des portefeuilles d'investissement, équilibrant le risque et le rendement à travers différents actifs.

Scénarios d'Application

  • Trouver le point d'équilibre où Coût = Revenus.
  • Résoudre pour les forces dans une ferme en ingénierie structurelle.
  • Calculer les quantités de différentes solutions nécessaires pour créer un mélange avec une concentration désirée.

Cas Spéciaux : Aucune Solution et Solutions Infinies

  • Comprendre les Systèmes Incohérents (Aucune Solution)
  • Comprendre les Systèmes Dépendants (Solutions Infinies)
  • Le Rôle du Déterminant
Tous les systèmes d'équations linéaires n'ont pas une seule solution unique. Il est important de comprendre les deux cas spéciaux que vous pourriez rencontrer.
Aucune Solution (Système Incohérent)
Géométriquement, cela se produit lorsque les lignes représentées par les équations sont parallèles. Elles ne se croisent jamais, donc il n'y a aucun point commun qui satisfait les deux équations. Algébriquement, cela se produit lorsque les variables sont éliminées et que vous êtes laissé avec une déclaration fausse, comme 0 = 5.
Solutions Infinies (Système Dépendant)
Cela se produit lorsque les deux équations représentent exactement la même ligne. Puisqu'une ligne repose entièrement sur l'autre, chaque point sur la ligne est une solution. Algébriquement, cela résulte en une déclaration vraie après élimination, comme 0 = 0.
Le Déterminant
Pour les méthodes matricielles, le déterminant est la clé. Un déterminant de zéro indique qu'il n'y a pas de solution unique. Le système est soit incohérent soit dépendant. Notre calculateur vérifie d'abord le déterminant pour identifier ces cas.

Identifier les Cas Spéciaux

  • Lignes Parallèles : 'x + y = 2' et 'x + y = 4'. Les pentes sont les mêmes, mais les ordonnées à l'origine sont différentes.
  • Lignes Coïncidentes : 'x + y = 2' et '2x + 2y = 4'. La deuxième équation n'est que la première multipliée par 2.