Calculateur de Décomposition en Valeurs Singulières

Décomposez les matrices en composantes U, Σ et V^T

Entrez votre matrice pour calculer sa Décomposition en Valeurs Singulières (SVD). Cet outil décompose toute matrice m×n A en A = UΣV^T.

Entrez les éléments de la matrice séparés par des virgules pour les lignes et des points-virgules pour les colonnes (ex: 1,2,3;4,5,6 pour une matrice 2×3)

Exemples SVD

Essayez ces exemples de matrices pour comprendre la décomposition SVD

Matrice Identité 2×2

2x2

Décomposition simple d'une matrice identité

Matrice: 1,0;0,1

Taille: 2×2

Matrice Rectangulaire 3×2

3x2

Décomposition d'une matrice rectangulaire

Matrice: 1,2;3,4;5,6

Taille: 3×2

Matrice de Données 2×3

2x3

Matrice de données typique pour la réduction de dimensionnalité

Matrice: 4,0,3;0,2,0

Taille: 2×3

Matrice Diagonale 3×3

diagonal

Matrice diagonale avec des valeurs propres distinctes

Matrice: 3,0,0;0,2,0;0,0,1

Taille: 3×3

Autres titres
Comprendre la Décomposition en Valeurs Singulières : Un Guide Complet
Maîtrisez les fondamentaux de la SVD et ses applications en science des données et algèbre linéaire

Qu'est-ce que la Décomposition en Valeurs Singulières (SVD) ?

  • Fondation Mathématique
  • Théorie de la Décomposition Matricielle
  • Relation avec la Décomposition en Valeurs Propres
La Décomposition en Valeurs Singulières (SVD) est une technique fondamentale de factorisation matricielle en algèbre linéaire qui décompose toute matrice m×n A en trois matrices : A = UΣV^T, où U et V sont des matrices orthogonales et Σ est une matrice diagonale contenant les valeurs singulières.
Fondation Mathématique
Pour toute matrice réelle A de taille m×n, la SVD produit : U (matrice orthogonale m×m), Σ (matrice diagonale m×n avec des valeurs singulières non négatives), et V^T (transposée de matrice orthogonale n×n). Les valeurs singulières dans Σ sont arrangées par ordre décroissant.
Théorie de la Décomposition Matricielle
La SVD existe pour toute matrice, contrairement à la décomposition en valeurs propres qui n'existe que pour les matrices carrées. Les colonnes de U sont appelées vecteurs singuliers gauches, les colonnes de V sont les vecteurs singuliers droits, et les éléments diagonaux de Σ sont les valeurs singulières.
Relation avec la Décomposition en Valeurs Propres
La SVD est étroitement liée à la décomposition en valeurs propres : les colonnes de V sont les vecteurs propres de A^TA, les colonnes de U sont les vecteurs propres de AA^T, et les valeurs singulières sont les racines carrées des valeurs propres de A^TA (ou AA^T).

Exemples SVD de Base

  • Pour la matrice A = [[3,2,2],[2,3,-2]], la SVD donne les matrices U, Σ et V^T
  • La plus grande valeur singulière représente le facteur d'étirement maximum de la transformation linéaire

Guide Étape par Étape pour Calculer la SVD

  • Processus de Calcul Manuel
  • Méthodes Numériques
  • Implémentation Logicielle
Calculer la SVD manuellement implique plusieurs étapes : calculer A^TA et AA^T, trouver leurs valeurs propres et vecteurs propres, construire les matrices V et U, et déterminer les valeurs singulières à partir des valeurs propres.
Processus de Calcul Manuel
1. Calculez A^TA et trouvez ses valeurs propres λ₁, λ₂, ..., λₙ. 2. Calculez les valeurs singulières σᵢ = √λᵢ. 3. Trouvez les vecteurs propres de A^TA pour former la matrice V. 4. Calculez U en utilisant U = AV/σ pour chaque valeur singulière. 5. Arrangez les composantes par ordre décroissant des valeurs singulières.
Méthodes Numériques
Les algorithmes modernes utilisent des méthodes itératives comme l'algorithme de Golub-Reinsch ou les méthodes de Jacobi pour calculer la SVD efficacement. Ces méthodes évitent de calculer explicitement A^TA ou AA^T pour maintenir la stabilité numérique.
Implémentation Logicielle
La plupart des logiciels mathématiques fournissent des fonctions SVD intégrées. Notre calculateur utilise des algorithmes numériques optimisés pour calculer la SVD avec précision pour des matrices jusqu'à des tailles raisonnables tout en maintenant la précision.

Exemples de Calcul

  • Calcul étape par étape pour la matrice 2×2 [[1,2],[3,4]]
  • Comparaison de différentes méthodes numériques pour les grandes matrices

Applications Réelles de la SVD

  • Compression de Données
  • Réduction de Dimensionnalité
  • Systèmes de Recommandation
La SVD a de nombreuses applications pratiques dans différents domaines, de la compression d'images et l'analyse de données à l'apprentissage automatique et le traitement du signal. Sa capacité à capturer les caractéristiques les plus importantes des données la rend inestimable pour de nombreuses tâches computationnelles.
Compression de Données
La SVD permet la compression de données avec perte en conservant uniquement les plus grandes valeurs singulières et leurs vecteurs correspondants. Cette SVD tronquée préserve les informations les plus significatives tout en réduisant considérablement les exigences de stockage.
Réduction de Dimensionnalité
En apprentissage automatique, la SVD est utilisée pour l'Analyse en Composantes Principales (ACP) pour réduire la dimensionnalité des données tout en préservant la variance. Cela aide à la visualisation, la réduction du bruit et l'efficacité computationnelle.
Systèmes de Recommandation
Les systèmes de filtrage collaboratif utilisent la SVD pour décomposer les matrices de notation utilisateur-élément, identifiant les facteurs latents qui expliquent les préférences utilisateur et les caractéristiques des éléments pour faire des recommandations.

Exemples d'Applications

  • Compression d'image réduisant la taille de fichier de 90% tout en maintenant la qualité visuelle
  • Système de recommandation Netflix utilisant la SVD pour des suggestions de films personnalisées

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • Unicité de la SVD
  • Complexité Computationnelle
  • Interprétation des Résultats
Plusieurs idées fausses existent sur la SVD, particulièrement concernant son unicité, ses exigences computationnelles et l'interprétation des résultats. Comprendre ces points clarifie quand et comment utiliser la SVD efficacement.
Unicité de la SVD
Bien que les valeurs singulières soient uniques (à l'ordre près), les matrices U et V ne sont pas uniques lorsque les valeurs singulières sont répétées. L'espace engendré par les colonnes correspondant à des valeurs singulières égales est uniquement déterminé, mais les vecteurs individuels dans cet espace peuvent varier.
Complexité Computationnelle
Le calcul de la SVD est O(min(m²n, mn²)) pour une matrice m×n, pas O(n³) comme on le croit parfois. Pour les grandes matrices, les algorithmes SVD randomisés peuvent fournir de bonnes approximations beaucoup plus rapidement.
Interprétation des Résultats
Les valeurs singulières indiquent l'« importance » de chaque composante, mais leurs magnitudes absolues dépendent de l'échelle des données. Considérez toujours le rapport des valeurs singulières plutôt que les valeurs absolues lors de l'évaluation de la signification des composantes.

Exemples de Clarification

  • Différentes matrices U,V pour la même matrice avec des valeurs singulières répétées
  • Effets d'échelle sur les magnitudes des valeurs singulières

Dérivation Mathématique et Exemples Avancés

  • Dérivation Théorique
  • Interprétation Géométrique
  • Applications Avancées
La fondation mathématique de la SVD découle du théorème spectral et de la théorie d'optimisation. Comprendre la dérivation fournit un aperçu plus profond de pourquoi la SVD fonctionne et comment interpréter ses résultats.
Dérivation Théorique
La SVD peut être dérivée de la caractérisation variationnelle : σ₁ = max ||Ax||/||x|| sur les vecteurs unitaires x. Ce maximum est atteint par le premier vecteur singulier droit, et les valeurs singulières suivantes sont trouvées en imposant des contraintes d'orthogonalité.
Interprétation Géométrique
Géométriquement, la SVD représente toute transformation linéaire comme une composition de rotation (V^T), mise à l'échelle (Σ), et une autre rotation (U). Cette décomposition révèle comment la transformation affecte différentes directions dans l'espace.
Applications Avancées
Les applications avancées incluent la résolution de problèmes des moindres carrés, le calcul de pseudoinverses matricielles, l'analyse de structures de réseaux, et la résolution d'équations aux dérivées partielles en utilisant la décomposition orthogonale propre (POD).

Exemples Avancés

  • Visualisation géométrique de transformation linéaire 2D via SVD
  • Utilisation de la pseudoinverse SVD pour résoudre des systèmes surdéterminés