Calculateur de Distance Manhattan

Calculez la distance entre deux points en utilisant la Géométrie Taxicab (Norme L1)

Entrez les coordonnées de deux points pour trouver la distance Manhattan. Cette métrique est utile pour les chemins en grille, comme les pâtés de maisons ou les échiquiers.

Entrez des nombres séparés par des virgules ou des espaces.

Entrez des nombres séparés par des virgules ou des espaces.

Exemples

Cliquez sur un exemple pour le charger dans le calculateur.

Chemin Urbain 2D

Par défaut

Trouvez la distance entre deux points dans une grille urbaine 2D.

P: [2, 3]

Q: [5, 7]

Navigation Spatiale 3D

Par défaut

Calculez la distance dans un système de coordonnées tridimensionnel.

P: [10, -5, 8]

Q: [4, 2, 12]

Vecteur de Caractéristiques en Science des Données

Par défaut

Mesurez la distance entre deux vecteurs de caractéristiques 4D dans un ensemble de données.

P: [1, 0, 1, 0]

Q: [0, 1, 0, 1]

Distance 1D Simple

Par défaut

Calculez la distance entre deux points sur une ligne numérique.

P: [-15]

Q: [25]

Autres titres
Comprendre la Distance Manhattan : Un Guide Complet
Explorez le concept de Distance Manhattan, sa formule, ses applications et comment elle diffère de la distance euclidienne.

Qu'est-ce que la Distance Manhattan ?

  • Aussi connue sous le nom de Distance Taxicab ou Norme L1.
  • Mesure la distance sur une grille, en se déplaçant uniquement horizontalement et verticalement.
  • Représente la somme des différences absolues des coordonnées.
La Distance Manhattan, aussi connue sous le nom de Distance L1, Géométrie Taxicab, ou Distance City Block, est une façon de mesurer la distance entre deux points dans un espace. Contrairement à la distance euclidienne plus courante (une ligne droite), la distance Manhattan est la distance qu'un taxi parcourrait dans une ville aménagée en grille, en se déplaçant uniquement le long des rues horizontales et verticales.
Le nom vient de la disposition en grille des rues de Manhattan à New York. Imaginez que vous voulez aller du point P au point Q. Vous ne pouvez pas traverser les bâtiments ; vous devez suivre les rues. La distance totale que vous parcourez—la somme des blocs horizontaux et verticaux—est la distance Manhattan.
La Formule
Pour deux points P = (p₁, p₂, ..., pₙ) et Q = (q₁, q₂, ..., qₙ) dans un espace n-dimensionnel, la distance Manhattan (d₁) est calculée comme :
d₁ = Σ |pᵢ - qᵢ| de i=1 à n
Dans un plan 2D avec les points P(x₁, y₁) et Q(x₂, y₂), la formule se simplifie à : d₁ = |x₁ - x₂| + |y₁ - y₂|

Exemples de Base

  • Pour P(1, 2) et Q(4, 6), distance = |1-4| + |2-6| = 3 + 4 = 7.
  • Sur un échiquier, le nombre minimum de coups pour qu'un roi aille d'une case à une autre est la distance Manhattan.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Entrez les coordonnées pour deux points.
  • Assurez-vous que les deux points ont la même dimension.
  • Interprétez la distance calculée et les étapes.
Notre calculateur simplifie la recherche de la distance Manhattan. Suivez ces étapes pour un calcul précis.
Directives d'Entrée
1. Coordonnées du Point 1 : Dans le premier champ de saisie, entrez les coordonnées de votre point de départ. Vous pouvez utiliser des virgules (ex : 10, 20, 5) ou des espaces (ex : 10 20 5) pour séparer les nombres.
2. Coordonnées du Point 2 : Dans le deuxième champ de saisie, entrez les coordonnées de votre point d'arrivée, en utilisant le même format.
3. Cohérence Dimensionnelle : Crucialement, les deux points doivent avoir le même nombre de coordonnées (dimensions). Vous ne pouvez pas calculer la distance entre un point 2D et un point 3D.
Calcul et Résultats
  • Cliquez sur le bouton 'Calculer la Distance' pour effectuer le calcul.
  • La 'Distance Manhattan' sera affichée, montrant le résultat numérique final.
  • La section 'Étapes du Calcul' fournit une décomposition détaillée, montrant la différence absolue pour chaque dimension et comment elles sont additionnées ensemble, rendant le processus facile à comprendre et à vérifier.

Exemples d'Utilisation Pratique

  • Entrée P : `1, 2`, Q : `3, 4` -> Étapes : |1-3| + |2-4| = 2 + 2 = 4.
  • Entrée P : `-5, 8`, Q : `5, -2` -> Étapes : |-5-5| + |8-(-2)| = 10 + 10 = 20.

Applications Réelles de la Distance Manhattan

  • Recherche de chemin dans les jeux et la robotique.
  • Distance de caractéristiques en apprentissage automatique.
  • Analyse d'image et vision par ordinateur.
La distance Manhattan n'est pas seulement un concept abstrait ; elle a des applications pratiques dans divers domaines.
Informatique et IA
  • Robotique et Développement de Jeux : Elle est utilisée pour la recherche de chemin sur des grilles. Des algorithmes comme A* peuvent utiliser la distance Manhattan comme heuristique pour estimer le coût pour atteindre une destination dans les jeux avec mouvement basé sur grille.
  • Apprentissage Automatique : Dans la classification et le clustering, la distance Manhattan peut être utilisée pour mesurer la dissimilarité entre les points de données, surtout dans les espaces de haute dimension où la distance euclidienne peut être contre-intuitive (malédiction de la dimensionnalité).
Traitement d'Image
En vision par ordinateur, elle est utilisée pour comparer des images. En traitant les valeurs de pixels comme des coordonnées dans un espace de haute dimension, la distance Manhattan peut mesurer la différence entre deux images.
Planification Urbaine et Logistique
Les services de livraison et les urbanistes utilisent cette métrique pour estimer les temps de trajet et les distances dans les villes avec un réseau de rues en grille, optimisant les itinéraires et les zones de service.

Applications Industrielles

  • Une IA d'échecs calculant le nombre minimum de coups pour une tour.
  • Un algorithme K-Nearest Neighbors (KNN) utilisant la norme L1 pour la comparaison de caractéristiques.
  • Un robot autonome d'entrepôt naviguant dans les allées pour ramasser des articles.

Distance Manhattan vs Distance Euclidienne

  • Euclidienne est la distance 'à vol d'oiseau'.
  • Manhattan est la distance basée sur grille ou sur chemin.
  • Le choix dépend des contraintes du problème.
Comprendre la différence entre la distance Manhattan et la distance euclidienne est essentiel pour les appliquer correctement.
La Différence Fondamentale
  • Distance Euclidienne (Norme L2) : C'est la distance en ligne droite entre deux points. C'est le chemin le plus court possible, calculé en utilisant le théorème de Pythagore : sqrt(Σ(pᵢ - qᵢ)²).
  • Distance Manhattan (Norme L1) : C'est la distance le long d'axes à angles droits. Elle est toujours supérieure ou égale à la distance euclidienne.
Quand Utiliser Laquelle ?
  • Utilisez la Distance Euclidienne quand le mouvement n'est pas restreint et peut se produire dans n'importe quelle direction. Par exemple, calculer la distance pour le trajet d'un avion.
  • Utilisez la Distance Manhattan quand le mouvement est contraint à une grille ou des directions orthogonales. C'est courant dans les environnements urbains, la conception de circuits imprimés, ou la bioinformatique pour l'alignement de séquences.

Exemples de Comparaison

  • P(0,0) à Q(3,4) : Euclidienne = sqrt(3²+4²) = 5. Manhattan = |3-0|+|4-0| = 7.
  • Pour des points sur le même axe, comme P(0,0) et Q(5,0), les deux distances sont les mêmes (5).

Dérivation Mathématique et Propriétés

  • Dérivée du concept de normes vectorielles.
  • Satisfait les propriétés d'une métrique : non-négativité, identité, symétrie et inégalité triangulaire.
  • Géométriquement, les 'cercles' sont des carrés.
La distance Manhattan fait partie d'une famille plus large de métriques de distance dérivées des normes vectorielles.
Normes Vectorielles
En mathématiques, une norme est une fonction qui assigne une longueur ou une taille strictement positive à chaque vecteur dans un espace vectoriel. La distance Manhattan est dérivée de la norme L1 de la différence entre deux vecteurs.
Propriétés d'une Métrique
La distance Manhattan est une vraie métrique, ce qui signifie qu'elle satisfait quatre conditions clés :
1. Non-négativité : d(P, Q) ≥ 0
2. Identité des indiscernables : d(P, Q) = 0 si et seulement si P = Q
3. Symétrie : d(P, Q) = d(Q, P)
4. Inégalité Triangulaire : d(P, R) ≤ d(P, Q) + d(Q, R)
Interprétation Géométrique
Un aspect fascinant est la forme d'un 'cercle' en géométrie Manhattan. Un cercle est défini comme l'ensemble des points équidistants d'un point central. Alors qu'en géométrie euclidienne c'est un cercle rond familier, en géométrie Manhattan, c'est un carré tourné de 45 degrés.

Aperçu Mathématique

  • L'ensemble des points avec une distance Manhattan de 3 depuis (0,0) inclut (3,0), (2,1), (1,2), (0,3), (-1,2), etc., formant une forme de diamant (un carré tourné).
  • L'inégalité triangulaire assure qu'aller directement de P à R n'est jamais plus long qu'aller via un point intermédiaire Q.