Calculateur d'Élimination de Gauss-Jordan

Résolvez des systèmes d'équations linéaires en transformant une matrice augmentée en forme échelonnée réduite.

Entrez les coefficients de votre système linéaire et les termes constants pour trouver la solution unique, ou déterminez s'il n'y a pas de solution ou des solutions infinies.

Exemples

Cliquez sur n'importe quel exemple pour le charger dans le calculateur.

Système 2x2 avec une Solution Unique

matrix

Un système simple à 2 variables qui se résout en une seule solution unique.

Taille du Système: 2x2

219
1-13

Système 3x3 avec une Solution Unique

matrix

Un système standard à 3 variables pour démontrer le processus sur une échelle légèrement plus grande.

Taille du Système: 3x3

1129
24-31
36-50

Système sans Solution

matrix

Un système incohérent où la réduction des lignes conduit à une contradiction (par exemple, 0 = 1).

Taille du Système: 3x3

12-14
2529
1336

Système avec des Solutions Infinies

matrix

Un système dépendant où une équation est une combinaison d'autres, conduisant à une variable libre.

Taille du Système: 3x3

1236
25815
1359
Autres titres
Comprendre l'Élimination de Gauss-Jordan : Un Guide Complet
Maîtrisez l'art de résoudre des systèmes linéaires, de trouver des inverses de matrices et de comprendre les espaces vectoriels grâce à la technique puissante de l'élimination de Gauss-Jordan.

Qu'est-ce que l'Élimination de Gauss-Jordan ?

  • Un algorithme systématique pour résoudre des systèmes d'équations linéaires.
  • Transforme la matrice augmentée d'un système en forme échelonnée réduite.
  • Révèle si le système a une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.
L'élimination de Gauss-Jordan est une pierre angulaire de l'algèbre linéaire utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. La méthode porte le nom des mathématiciens Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan. Elle fonctionne en effectuant systématiquement une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée d'un système linéaire jusqu'à ce qu'elle soit sous une forme spéciale et simplifiée connue sous le nom de forme échelonnée réduite (RREF).
La Matrice Augmentée
Un système d'équations linéaires comme :
2x + y = 9
x - y = 3
peut être représenté par une matrice augmentée. C'est une matrice contenant les coefficients des variables et les termes constants, séparés par une ligne verticale :
[ 2 1 | 9 ]
[ 1 -1 | 3 ]
L'Objectif : La Forme Échelonnée Réduite (RREF)
L'objectif est de transformer cette matrice augmentée en RREF, qui a trois propriétés principales :
1. Le premier élément non nul de chaque ligne non nulle (l'élément principal ou pivot) est 1.
2. Chaque 1 principal est le seul élément non nul de sa colonne.
3. Toutes les lignes nulles sont en bas de la matrice.
Pour notre exemple, la RREF serait :
[ 1 0 | 4 ]
[ 0 1 | 1 ]
Cela donne directement la solution : x = 4, y = 1.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Sélectionnez la taille de votre système linéaire.
  • Entrez les coefficients dans la matrice augmentée.
  • Interprétez correctement les résultats pour tous les types de solutions.
Notre Calculateur d'Élimination de Gauss-Jordan simplifie ce processus en quelques étapes faciles.
1. Définir la Taille de la Matrice
Commencez par sélectionner le nombre d'équations (lignes) et de variables (colonnes) dans votre système. Le calculateur prend en charge diverses tailles pour gérer à la fois des problèmes simples et complexes.
2. Remplir la Matrice Augmentée
Entrez les coefficients de chaque variable dans la partie principale de la matrice (A). Ensuite, entrez les termes constants du côté droit de chaque équation dans la dernière colonne (b). Assurez-vous que chaque nombre est entré correctement.
3. Calculer et Analyser
Cliquez sur le bouton 'Calculer'. L'outil effectuera les opérations élémentaires sur les lignes et affichera la matrice finale sous forme échelonnée réduite, ainsi que la solution.
- Solution Unique : La RREF sera une matrice identité à gauche, avec la solution dans la dernière colonne.
- Aucune Solution : Vous verrez une ligne avec tous des zéros à gauche et une entrée non nulle à droite (par exemple, [0 0 0 | 1]), qui représente une contradiction comme 0 = 1.
- Solutions Infinies : Vous aurez moins de lignes non nulles que de variables, indiquant la présence de variables libres.

Applications Réelles de l'Élimination de Gauss-Jordan

  • Ingénierie : Analyser les circuits électriques et les charges structurelles.
  • Informatique : Résoudre des problèmes en infographie et flux de réseau.
  • Économie : Modéliser l'équilibre du marché et optimiser l'allocation des ressources.
L'élimination de Gauss-Jordan n'est pas seulement un exercice académique ; c'est un outil puissant utilisé pour résoudre des problèmes tangibles dans de nombreuses disciplines.
Analyse de Circuits (Lois de Kirchhoff)
En électronique, les lois de Kirchhoff pour le courant et la tension produisent des systèmes d'équations linéaires. Les ingénieurs utilisent l'élimination de Gauss-Jordan pour résoudre les courants inconnus dans différentes parties d'un circuit complexe, ce qui est crucial pour concevoir et dépanner des appareils électroniques.
Chimie
Lors de l'équilibrage d'équations chimiques, un système d'équations linéaires peut être mis en place pour s'assurer que le nombre d'atomes de chaque élément est conservé. Résoudre ce système donne les coefficients stoechiométriques pour les réactifs et les produits.
Économie et Finance
Les économistes utilisent des systèmes linéaires pour modéliser l'offre et la demande, calculer le risque de portefeuille et analyser les modèles entrée-sortie qui décrivent les interdépendances entre différents secteurs d'une économie. Gauss-Jordan fournit les moyens de trouver des points d'équilibre et des stratégies optimales.

Les Trois Opérations Élémentaires sur les Lignes

  • Échanger deux lignes.
  • Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
  • Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne.
L'algorithme complet d'élimination de Gauss-Jordan est construit sur trois opérations simples mais puissantes. Ces opérations nous permettent de manipuler la matrice sans changer l'ensemble de solutions du système linéaire sous-jacent.
1. Échange de Lignes (Ri <-> Rj)
Deux lignes quelconques de la matrice peuvent être échangées. Cela équivaut à changer l'ordre dans lequel vous écrivez les équations, ce qui n'a aucun effet sur la solution finale.
2. Mise à l'Échelle des Lignes (k * Ri -> Ri)
Vous pouvez multiplier n'importe quelle ligne par une constante non nulle. Cela correspond à multiplier les deux côtés d'une équation par le même nombre, ce qui préserve l'égalité.
3. Addition de Lignes (Ri + k * Rj -> R_i)
Un multiple d'une ligne peut être ajouté à une autre ligne. C'est le moteur du processus d'élimination. C'est comme ajouter une équation (ou un multiple de celle-ci) à une autre, une technique standard pour résoudre des systèmes d'équations.

Élimination de Gauss vs Élimination de Gauss-Jordan

  • L'élimination de Gauss produit une forme échelonnée.
  • L'élimination de Gauss-Jordan continue vers la forme échelonnée réduite.
  • Gauss-Jordan nécessite plus d'étapes mais donne la solution directement.
Bien que étroitement liées, il y a une distinction clé entre l'élimination de Gauss et l'élimination de Gauss-Jordan.
Élimination de Gauss : La Première Phase
L'élimination de Gauss transforme la matrice augmentée en forme échelonnée (REF). Dans la REF, les éléments principaux sont 1, et toutes les entrées en dessous de l'élément principal dans la même colonne sont nulles. Cependant, les entrées au-dessus de l'élément principal ne sont pas nécessairement nulles. Une fois en REF, la solution est trouvée en utilisant un processus appelé substitution arrière.
Élimination de Gauss-Jordan : La Réduction Complète
L'élimination de Gauss-Jordan va un pas plus loin. Après avoir atteint la forme échelonnée, elle procède avec une phase 'arrière' pour éliminer les entrées non nulles au-dessus des 1 principaux. Cela résulte en la forme échelonnée réduite (RREF), où chaque 1 principal est la seule entrée non nulle de sa colonne. L'avantage principal est que lorsque la RREF est atteinte, la solution du système peut être lue directement depuis la matrice sans avoir besoin de substitution arrière.
En résumé, Gauss-Jordan est une version plus complète de l'élimination de Gauss. Bien qu'elle puisse impliquer plus d'étapes de calcul, sa directivité en fait une méthode préférée pour les solutions manuelles et informatiques.