Calculateur d'Identités de Somme et Différence

Calculez les fonctions trigonométriques des sommes et différences d'angles (A ± B).

Entrez deux angles et sélectionnez la fonction et l'opération pour appliquer l'identité de somme ou de différence correspondante.

Exemples

Cliquez sur un exemple pour le charger dans le calculateur.

Sinus de la Somme (sin(45° + 30°))

sin_sum

Calculez sin(75°) en trouvant la somme de sin(45°) et sin(30°).

Fonction: Sinus (sin)

Opération: Somme (A + B)

Angle A: 45

Angle B: 30

Unité: Degrés

Cosinus de la Différence (cos(60° - 45°))

cos_diff

Calculez cos(15°) en trouvant la différence de cos(60°) et cos(45°).

Fonction: Cosinus (cos)

Opération: Différence (A - B)

Angle A: 60

Angle B: 45

Unité: Degrés

Tangente de la Somme en Radians (tan(π/6 + π/4))

tan_sum_rad

Calculez la tangente d'une somme de deux angles en radians.

Fonction: Tangente (tan)

Opération: Somme (A + B)

Angle A: 0.523599

Angle B: 0.785398

Unité: Radians

Sinus de la Différence avec un Angle Négatif

sin_diff_neg

Calculez sin(120° - (-30°)) = sin(150°).

Fonction: Sinus (sin)

Opération: Différence (A - B)

Angle A: 120

Angle B: -30

Unité: Degrés

Autres titres
Comprendre les Identités de Somme et Différence : Un Guide Complet
Maîtrisez les formules mathématiques pour le sinus, le cosinus et la tangente de la somme ou de la différence de deux angles. Essentiel pour la trigonométrie, le calcul et la physique.

Que sont les Identités de Somme et Différence ?

  • Décomposer les formules d'addition et de soustraction d'angles.
  • Les six identités fondamentales pour le sinus, le cosinus et la tangente.
  • Pourquoi ces identités sont une pierre angulaire de la trigonométrie.
Les identités de somme et différence, également connues sous le nom de formules d'addition/soustraction d'angles, sont un ensemble d'équations trigonométriques qui expriment la fonction trig d'une somme ou d'une différence de deux angles (par exemple, A + B ou A - B) en termes des fonctions trig des angles individuels A et B. Elles sont un outil fondamental pour simplifier des expressions complexes et trouver des valeurs trigonométriques exactes pour une large gamme d'angles.
Les Six Formules de Base
sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)
cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)
cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))
tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))

Exemples d'Identités de Base

  • Trouver sin(75°) en calculant sin(45° + 30°).
  • Simplifier cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) en cos(x - y).

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Sélectionner la bonne fonction et opération.
  • Entrer les angles en degrés ou radians.
  • Interpréter le résultat calculé et la formule.
Notre calculateur simplifie le processus d'application de ces identités. Suivez ces étapes pour un calcul précis :
Directives d'Entrée
1. Sélectionner la Fonction Trigonométrique : Choisissez sinus (sin), cosinus (cos) ou tangente (tan) dans le menu déroulant.
2. Sélectionner l'Opération : Choisissez si vous voulez calculer la somme (A + B) ou la différence (A - B).
3. Entrer les Angles : Saisissez les valeurs pour l'Angle A et l'Angle B.
4. Choisir l'Unité : Spécifiez si vos angles sont en 'Degrés' ou 'Radians'. Ceci est critique pour la précision.
5. Calculer : Cliquez sur le bouton 'Calculer' pour voir le résultat.
Comprendre la Sortie
Le calculateur fournit non seulement la réponse numérique finale, mais aussi la formule spécifique utilisée et une décomposition étape par étape des valeurs intermédiaires, vous aidant à comprendre comment le résultat a été dérivé.

Exemples d'Utilisation Pratique

  • Entrée : func=cos, op=difference, A=60, B=45, unit=degrees → Résultat : cos(15°)
  • Entrée : func=tan, op=sum, A=π/6, B=π/4, unit=radians → Résultat : tan(5π/12)

Applications Réelles des Identités de Somme et Différence

  • Analyser l'interférence des ondes en physique.
  • Simplifier l'analyse des circuits en génie électrique.
  • Créer des rotations et transformations en infographie.
Ces identités ne sont pas seulement des exercices académiques ; elles sont critiques dans de nombreux domaines scientifiques et d'ingénierie.
Physique et Mécanique des Ondes
En physique, la superposition d'ondes (comme le son, la lumière ou les vagues d'eau) est analysée en utilisant les identités de somme et différence. Quand deux ondes se rencontrent, leur amplitude résultante est déterminée par des formules dérivées directement de ces identités, expliquant des phénomènes comme l'interférence constructive et destructive.
Génie Électrique
Dans l'analyse de circuits CA, les relations de phase entre tension et courant sont décrites par des fonctions sinusoïdales. Les identités de somme et différence sont utilisées pour analyser des circuits avec plusieurs sources CA, simplifiant les calculs d'impédance complexes.
Navigation et Géodésie
Ces formules sont utilisées en trigonométrie sphérique pour les calculs en navigation et géodésie, aidant à déterminer les distances et les relèvements à la surface de la Terre.

Applications Industrielles

  • Calculer la fréquence de battement entre deux ondes sonores.
  • Analyser le décalage de phase dans un circuit RLC.
  • Déterminer la position d'un satellite.

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • Éviter la tentation de distribuer les fonctions.
  • Surveiller les erreurs de signe dans les formules du cosinus.
  • Gérer correctement les valeurs de tangente non définies.
Une erreur courante est d'incorrectement 'distribuer' une fonction trigonométrique sur une somme ou une différence. Il est crucial d'utiliser l'identité correcte.
Méthode Incorrecte vs Correcte
Incorrect : sin(A + B) = sin(A) + sin(B)
Correct : sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
Règle de Signe du Cosinus
Rappelez-vous le changement de signe unique dans les identités du cosinus : cos(A + B) a un signe moins dans sa formule, tandis que cos(A - B) a un signe plus. C'est une source fréquente d'erreurs.
Cas Limites de la Tangente
La fonction tangente n'est pas définie à 90° (π/2 radians) et ses multiples. Lors de l'utilisation des identités de tangente, soyez conscient que si A, B ou A±B résulte en un tel angle, l'identité peut impliquer une division par zéro et sera non définie. Notre calculateur gère automatiquement ces cas.

Erreurs Courantes à Éviter

  • Confondre cos(A+B) avec cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B).
  • Oublier de vérifier si tan(A) ou tan(B) est non défini.

Dérivation Mathématique et Preuves

  • Preuve géométrique utilisant le cercle unitaire.
  • Dérivation via la formule d'Euler (e^ix = cos(x) + i*sin(x)).
  • Utiliser les produits scalaires de vecteurs pour une preuve concise.
Les identités peuvent être élégamment prouvées par plusieurs méthodes, chacune fournissant un aperçu différent.
Preuve Géométrique du Cercle Unitaire
Une des preuves les plus intuitives implique le cercle unitaire. En construisant les points P(A) et P(B) sur le cercle, nous pouvons utiliser la formule de distance entre eux et faire pivoter tout le système de -B pour placer P(B) à (1,0). La distance reste la même, et en égalant les deux expressions pour la distance au carré, on obtient l'identité pour cos(A - B). D'autres identités peuvent être dérivées à partir de ce point de départ.
Preuve par la Formule d'Euler
Une preuve plus avancée utilise la formule d'Euler, e^(ix) = cos(x) + isin(x). En considérant e^(i(A+B)) = e^(iA) e^(iB), nous pouvons développer les deux côtés en leurs composantes cosinus et sinus. En égalant les parties réelles et imaginaires des deux côtés de l'équation, on prouve simultanément les identités de somme pour le sinus et le cosinus.

Techniques de Preuve

  • Preuve par formule de distance pour cos(A-B).
  • Développer e^(i(A+B)) pour dériver les formules de somme sin et cos.