La formule d'interpolation bilinéaire découle de l'application systématique de l'interpolation linéaire dans deux directions perpendiculaires, créant une méthode mathématiquement rigoureuse pour l'estimation de valeurs 2D.
Dérivation Mathématique :
En commençant par l'interpolation linéaire dans la direction x : D'abord, interpolez entre f(x₁,y₁) et f(x₂,y₁) au bord inférieur, puis entre f(x₁,y₂) et f(x₂,y₂) au bord supérieur. Ensuite, interpolez entre ces deux valeurs intermédiaires dans la direction y.
La formule complète d'interpolation bilinéaire est : f(x,y) = [f₁₁(x₂-x)(y₂-y) + f₂₁(x-x₁)(y₂-y) + f₁₂(x₂-x)(y-y₁) + f₂₂(x-x₁)(y-y₁)] / [(x₂-x₁)(y₂-y₁)]
Interprétation Géométrique :
Chaque terme dans la formule représente la contribution d'une valeur de coin, pondérée par l'aire du rectangle formé par le point d'interpolation et les trois autres coins. Cela crée une signification géométrique intuitive : les coins plus proches ont une influence proportionnellement plus importante.
Les poids somment à l'unité, assurant des propriétés de conservation et maintenant des interprétations physiquement significatives dans des applications comme la conservation de masse ou d'énergie.
Formulation Matricielle :
L'interpolation bilinéaire peut être exprimée comme une opération matricielle : f(x,y) = [1-u, u] × [[f₁₁,f₁₂],[f₂₁,f₂₂]] × [1-v, v]ᵀ, où u et v sont des coordonnées normalisées dans [0,1].
Cette formulation connecte l'interpolation bilinéaire aux produits tensoriels et fournit une base pour étendre aux dimensions supérieures et aux schémas d'interpolation plus complexes.
Extensions Avancées :
Les méthodes d'ordre supérieur comme l'interpolation bicubique, les surfaces B-spline et les NURBS (B-splines rationnelles non uniformes) s'appuient sur les principes bilinéaires tout en fournissant des résultats plus fluides et une meilleure gestion des géométries complexes.