Calculateur d'Interpolation Linéaire

Estimez une valeur inconnue entre deux points de données connus sur une ligne droite.

Fournissez les coordonnées de deux points et l'abscisse d'un troisième point pour trouver son ordonnée correspondante par interpolation linéaire.

Exemples

Cliquez sur n'importe quel exemple pour charger ses données dans le calculateur.

Estimation de Température

Standard

Estimez la température à une altitude de 1500m.

P₁: (1000, 15)

P₂: (2000, 10)

Trouver pour x: 1500

Analyse du Prix des Actions

Standard

Estimez le prix d'une action à 10h30.

P₁: (10, 250)

P₂: (11, 255)

Trouver pour x: 10.5

Projection de Croissance des Ventes

Standard

Projetez les ventes pour le 5ème mois de l'année.

P₁: (3, 12000)

P₂: (6, 18000)

Trouver pour x: 5

Interpolation de Données Scientifiques

Standard

Trouvez la pression à une profondeur de 25 mètres.

P₁: (10, 2.0)

P₂: (50, 6.0)

Trouver pour x: 25

Autres titres
Comprendre l'Interpolation Linéaire : Un Guide Complet
Apprenez les principes de l'interpolation linéaire, sa formule mathématique et ses applications variées dans différents domaines.

Qu'est-ce que l'Interpolation Linéaire ?

  • Une méthode pour estimer de nouveaux points de données.
  • Suppose une relation linéaire entre les points connus.
  • Fondamentale pour l'analyse de données et l'approximation de fonctions.
L'interpolation linéaire est une technique mathématique utilisée pour trouver un nouveau point de données dans la plage d'un ensemble discret de points de données connus. Elle fonctionne sur l'hypothèse que la valeur estimée suit une progression en ligne droite entre deux points connus. Cette méthode est l'une des formes d'interpolation les plus simples et est largement utilisée en raison de sa facilité d'implémentation et de calcul.
Le Concept Fondamental
Imaginez que vous ayez deux points sur un graphique, (x₁, y₁) et (x₂, y₂). L'interpolation linéaire vous permet de choisir n'importe quelle valeur x entre x₁ et x₂ et de trouver la valeur y correspondante qui se trouve sur la ligne droite reliant les deux points originaux. C'est comme 'lire entre les lignes' de vos données.

Exemples Conceptuels

  • Si la température est de 10°C à 1000m et de 5°C à 2000m, vous pouvez estimer qu'elle est de 7,5°C à 1500m.
  • Si une plante mesure 2cm le jour 5 et 4cm le jour 9, vous pouvez interpoler que sa hauteur le jour 7 était de 3cm.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur d'Interpolation Linéaire

  • Saisir les coordonnées de vos points de données connus.
  • Spécifier le point que vous souhaitez trouver.
  • Interpréter le résultat calculé et sa signification.
Notre calculateur simplifie le processus, mais comprendre les étapes est essentiel pour l'utiliser efficacement.
Champs de Saisie
1. Point 1 (x₁, y₁) : Entrez les coordonnées de votre premier point de données connu. C'est votre référence de départ.
2. Point 2 (x₂, y₂) : Entrez les coordonnées de votre deuxième point de données connu. C'est votre référence de fin.
3. Valeur à Trouver (x) : Entrez l'abscisse du point pour lequel vous voulez trouver la valeur y. Cette valeur devrait idéalement être entre x₁ et x₂.
Calcul et Sortie
Après avoir cliqué sur 'Calculer', l'outil fournira instantanément la 'Valeur Interpolée (y)'. C'est la valeur y estimée qui correspond à votre valeur x d'entrée, se trouvant sur la ligne droite définie par vos deux points.

Utilisation Pratique

  • Étant donné P1=(2, 4) et P2=(6, 8), trouver y pour x=4 donne y=6.
  • Étant donné P1=(0, 0) et P2=(10, 20), trouver y pour x=5 donne y=10.

Applications Réelles de l'Interpolation Linéaire

  • Finance : Estimation des taux d'intérêt ou des prix des actions.
  • Graphisme Informatique : Redimensionnement d'images et création de transitions fluides.
  • Ingénierie et Science : Analyse des données d'expériences.
L'interpolation linéaire n'est pas seulement un concept théorique ; elle a de nombreuses utilisations pratiques.
En Finance
Les analystes l'utilisent pour estimer des valeurs à partir de courbes de rendement ou pour déterminer les prix des actions à des moments entre les ticks discrets.
En Graphisme Informatique
Lorsque vous redimensionnez une image, l'interpolation linéaire (ou une variante plus complexe comme l'interpolation bilinéaire) est utilisée pour calculer les valeurs de couleur des nouveaux pixels.
En Science et Ingénierie
Lorsque des données expérimentales sont collectées à intervalles (par exemple, relevés de température toutes les heures), l'interpolation peut être utilisée pour estimer les valeurs à n'importe quel moment entre les relevés.

Cas d'Usage Industriels

  • Estimer la population d'un pays en 2015 basée sur les données de recensement de 2010 et 2020.
  • Calculer le niveau de carburant dans un réservoir à un moment spécifique basé sur deux relevés séparés.

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • Interpolation vs Extrapolation.
  • L'hypothèse de linéarité.
  • Quand ne pas utiliser l'interpolation linéaire.
Interpolation vs Extrapolation
Une erreur courante est de confondre interpolation et extrapolation. L'interpolation est l'estimation d'une valeur dans la plage de vos données connues (entre x₁ et x₂). L'extrapolation est l'estimation d'une valeur en dehors de cette plage, ce qui est considérablement moins fiable car elle suppose que la tendance linéaire continue indéfiniment.
L'Hypothèse de Linéarité
L'interpolation linéaire n'est précise que si la relation sous-jacente est vraiment linéaire. Si les données suivent une courbe (par exemple, croissance exponentielle), l'interpolation linéaire produira une erreur. Pour les données courbes, les méthodes d'interpolation polynomiale ou par splines sont plus appropriées.

Points de Prudence

  • Utiliser des données de 9h et 10h pour estimer une valeur à 11h est une extrapolation, pas une interpolation.
  • Appliquer l'interpolation linéaire pour prédire la trajectoire d'une fusée (une courbe) mènera à des résultats inexacts.

La Dérivation Mathématique et la Formule

  • Comprendre la forme pente-intercept.
  • Dériver la formule d'interpolation étape par étape.
  • Un exemple détaillé avec calcul complet.
La formule pour l'interpolation linéaire est dérivée de l'équation d'une ligne droite.
La Formule
La formule classique est : y = y₁ + (x - x₁) * (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁). Cette équation trouve essentiellement la fraction de la distance horizontale (x - x₁) par rapport à la distance horizontale totale (x₂ - x₁) et applique cette même fraction à la distance verticale totale (y₂ - y₁), l'ajoutant à la position verticale de départ (y₁).
Exemple Détaillé
Trouvons y pour x=3, étant donné les points (2, 5) et (4, 9).
x₁=2, y₁=5
x₂=4, y₂=9
x=3

y = 5 + (3 - 2) (9 - 5) / (4 - 2)
y = 5 + (1) (4) / (2)
y = 5 + 4 / 2
y = 5 + 2
y = 7

Derrière les Mathématiques

  • Le terme (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) est la pente de la ligne.
  • Le terme (x - x₁) est la distance horizontale du premier point au point d'intérêt.