Calculateur de la Loi des Cosinus

Un outil universel pour résoudre n'importe quel triangle, dépassant les contraintes des triangles rectangles.

Utilisez ce calculateur pour les configurations Côté-Angle-Côté (SAS) ou Côté-Côté-Côté (SSS) pour déterminer les mesures inconnues.

Exemples Pratiques

Explorez des scénarios courants pour voir comment la Loi des Cosinus est appliquée.

Trouver un Côté Manquant (SAS)

findSide

Étant donné deux côtés et l'angle entre eux, trouver le troisième côté.

Côté A: 5

Côté B: 7

Angle C: 45

Trouver un Angle Manquant (SSS)

findAngle

Étant donné les trois côtés d'un triangle, trouver un angle.

Côté A: 8

Côté B: 6

Côté C: 10

Côté d'un Triangle Obtus (SAS)

findSide

Calculer le côté le plus long d'un triangle avec un angle obtus.

Côté A: 10

Côté B: 12

Angle C: 120

Angle d'un Triangle Isocèle (SSS)

findAngle

Trouver l'angle au sommet d'un triangle isocèle.

Côté A: 9

Côté B: 9

Côté C: 6

Autres titres
Comprendre la Loi des Cosinus : Un Guide Complet
Une exploration approfondie de la règle du cosinus, ses applications et ses fondements mathématiques.

Qu'est-ce que la Loi des Cosinus ?

  • Une généralisation du théorème de Pythagore
  • Applicable à tous les triangles, pas seulement aux triangles rectangles
  • Connecte les longueurs des côtés au cosinus d'un angle
La Loi des Cosinus est un théorème fondamental en trigonométrie qui fournit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle et le cosinus de l'un de ses angles. Pour tout triangle avec des côtés de longueur a, b et c, et avec l'angle C opposé au côté c, la loi s'énonce comme :
c² = a² + b² - 2ab cos(C)
Cette formule peut être réarrangée pour résoudre n'importe quel côté ou angle, en faisant un outil incroyablement polyvalent. Elle est particulièrement utile dans deux scénarios principaux : quand vous connaissez deux côtés et l'angle inclus (SAS) ou quand vous connaissez les trois côtés (SSS).

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Choisir le bon mode de calcul
  • Saisir correctement vos valeurs connues
  • Interpréter les résultats calculés
1. Pour Trouver un Côté Manquant (SAS) :
Sélectionnez le mode 'Trouver un Côté (SAS)'. Saisissez les longueurs de deux côtés (ex., 'a' et 'b') et la mesure de l'angle entre eux (angle 'C'). Le calculateur utilisera la formule c² = a² + b² - 2ab cos(C) pour trouver la longueur du troisième côté 'c'.
2. Pour Trouver un Angle Manquant (SSS) :
Sélectionnez le mode 'Trouver un Angle (SSS)'. Saisissez les longueurs des trois côtés ('a', 'b' et 'c'). Le calculateur vérifiera d'abord que les côtés peuvent former un triangle valide (inégalité triangulaire). Ensuite, il réarrangera la formule pour trouver un angle, par exemple, l'angle 'C' : C = arccos((a² + b² - c²) / 2ab).

Applications Réelles de la Loi des Cosinus

  • Arpentage et mesure de terrain
  • Navigation et astronomie
  • Ingénierie et physique
La Loi des Cosinus n'est pas seulement un exercice académique ; elle a de nombreuses applications pratiques.
Arpentage :
Les arpenteurs l'utilisent pour calculer la distance entre deux points quand une mesure directe est impossible. En mesurant la distance d'un troisième point à chacun des deux points et l'angle entre ces lignes, ils peuvent trouver la distance inconnue.
Navigation :
Les pilotes et marins l'utilisent pour déterminer la distance et le cap vers une destination, surtout quand ils traitent avec des vecteurs et des effets de vent/courant.

Idées Fausses Courantes et Points Clés

  • Loi des Cosinus vs Loi des Sinus
  • Le Cas Ambigu
  • Unités et précision
Ambiguïté de la Loi des Sinus :
Contrairement à la Loi des Sinus, la Loi des Cosinus n'a pas de 'cas ambigu'. Quand on résout pour un angle en utilisant le cas SSS, la fonction arccos retournera toujours un angle unique entre 0° et 180°, identifiant correctement s'il est aigu ou obtus.
Unités :
Assurez-vous que toutes les longueurs de côtés sont dans les mêmes unités. Le calculateur suppose que les angles sont en degrés pour l'entrée et la sortie.

Dérivation Mathématique et Preuve

  • Preuve utilisant la géométrie coordonnée
  • Relation au produit scalaire des vecteurs
  • Connexion au théorème de Pythagore
La Loi des Cosinus peut être dérivée en plaçant un triangle sur le plan de coordonnées cartésiennes. Placez le sommet C à l'origine (0,0) et le côté 'b' le long de l'axe des x. Les coordonnées du sommet A seraient (b, 0), et les coordonnées du sommet B seraient (a cos(C), a sin(C)).
La longueur du côté 'c' est la distance entre les points A et B. En utilisant la formule de distance, c² = (a cos(C) - b)² + (a sin(C) - 0)². En développant cette équation et en simplifiant en utilisant l'identité sin²(C) + cos²(C) = 1, on obtient la Loi des Cosinus : c² = a² + b² - 2ab cos(C).