Calculateur de la Loi des Sinus

Utilisez la Règle des Sinus pour résoudre les côtés et angles inconnus dans un triangle. Sélectionnez la combinaison de valeurs que vous connaissez.

Entrez les valeurs connues de votre triangle pour calculer les propriétés manquantes.

Exemples Pratiques

Chargez un exemple pour voir comment le calculateur fonctionne avec différentes entrées.

AAS (Angle-Angle-Côté)

aas

Étant donné deux angles et un côté non inclus.

ASA (Angle-Côté-Angle)

asa

Étant donné deux angles et le côté inclus.

SSA (Une Solution)

ssa_single

Étant donné deux côtés et un angle non inclus, résultant en un triangle.

SSA (Deux Solutions)

ssa_ambiguous

Un cas ambigu où deux triangles différents peuvent être formés.

Autres titres
Comprendre la Loi des Sinus : Un Guide Complet
Maîtrisez la Règle des Sinus pour résoudre les triangles, des cas de base au scénario ambigu SSA.

Qu'est-ce que la Loi des Sinus ?

  • La formule de base et sa signification
  • Quand utiliser la Loi des Sinus vs la Loi des Cosinus
  • La relation entre les côtés et leurs angles opposés
La Loi des Sinus (ou Règle des Sinus) est un théorème fondamental en trigonométrie qui décrit la relation entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus de leurs angles opposés correspondants. Pour tout triangle avec les côtés a, b, c et les angles opposés A, B, C, la loi énonce :
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
Ce rapport élégant signifie que si vous connaissez certaines combinaisons de côtés et d'angles, vous pouvez résoudre les parties inconnues du triangle. Il est le plus couramment utilisé lorsque vous avez une paire angle-côté connue.
Quand l'Utiliser
La Loi des Sinus est votre outil de prédilection pour les triangles lorsque vous connaissez : 1. Deux angles et n'importe quel côté (AAS ou ASA). 2. Deux côtés et un angle non inclus (SSA), également connu sous le nom de cas ambigu.

Applications Clés

  • AAS : Angle A connu, Angle B, et Côté a.
  • ASA : Angle A connu, Côté c, et Angle B.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Sélectionner la bonne configuration (ASA, AAS, SSA)
  • Entrer vos valeurs connues correctement
  • Interpréter les résultats, y compris l'aire et le périmètre
Notre calculateur simplifie le processus. Voici comment l'utiliser efficacement :
1. Sélectionnez Votre Configuration
Commencez par choisir l'ensemble de valeurs que vous connaissez dans le menu déroulant : ASA (Angle-Côté-Angle), AAS (Angle-Angle-Côté), ou SSA (Côté-Côté-Angle). Les champs de saisie s'adapteront selon votre choix.
2. Entrez les Valeurs Connues
Remplissez les champs de saisie correspondants avec les mesures de votre triangle. Assurez-vous que les angles sont en degrés. Le calculateur nécessite trois entrées pour résoudre le triangle.
3. Calculez et Analysez les Résultats
Cliquez sur 'Calculer' pour voir la solution. Les résultats montreront les côtés et angles inconnus, ainsi que le périmètre et l'aire du triangle. Pour le cas SSA, il détectera automatiquement s'il existe une ou deux solutions.

Scénarios d'Utilisation

  • Pour ASA, si vous connaissez Angle A=30°, Côté c=10, Angle B=70°, vous pouvez trouver Angle C, Côté a, et Côté b.
  • Pour SSA, si vous connaissez Côté a=7, Côté b=9, Angle A=45°, le calculateur déterminera si un triangle valide peut être formé.

Applications Réelles de la Loi des Sinus

  • Comment elle est utilisée en arpentage et cartographie
  • Applications en astronomie et navigation
  • Son rôle en ingénierie et physique
La Loi des Sinus n'est pas seulement un exercice académique ; elle a de nombreuses applications pratiques.
Arpentage et Triangulation
Les arpenteurs utilisent la triangulation pour mesurer les distances entre les points. En mesurant une distance de base et les angles vers un point distant depuis les deux extrémités de la base, ils peuvent utiliser la Loi des Sinus pour calculer la distance à ce point sans la mesurer physiquement.
Astronomie
Les astronomes utilisent un principe similaire, appelé parallaxe, pour mesurer la distance aux étoiles proches. Ils mesurent la position apparente d'une étoile depuis deux points différents de l'orbite terrestre et utilisent la Loi des Sinus pour calculer sa distance.

Domaines Pratiques

  • Calculer la hauteur d'une montagne en mesurant les angles depuis deux points différents.
  • Déterminer la trajectoire d'un satellite ou d'un navire en utilisant des mesures angulaires.

Le Cas Ambigu (SSA) : Une Approfondissement

  • Pourquoi le cas SSA peut mener à 0, 1, ou 2 triangles
  • Les conditions mathématiques pour chaque scénario
  • Comment le calculateur gère l'ambiguïté automatiquement
Le cas Côté-Côté-Angle (SSA) est connu sous le nom de 'cas ambigu' car les informations données peuvent ne pas définir un triangle unique. Selon les valeurs, vous pourriez obtenir aucune solution, une solution, ou deux solutions distinctes.
Conditions pour l'Ambiguïté
Soit les parties connues le côté a, le côté b, et l'Angle A. L'ambiguïté survient lorsque le côté a est plus court que le côté b (a < b). Nous comparons le côté a à la hauteur du triangle (h = b * sin(A)).
  • Si a < h : Aucune solution. Le côté est trop court pour former un triangle.
  • Si a = h : Une solution (un triangle rectangle).
  • Si h < a < b : Deux solutions. Le côté peut pivoter pour former deux triangles valides différents.
  • Si a ≥ b : Une solution.
Notre calculateur effectue ces vérifications pour vous, présentant toutes les solutions valides sans nécessiter de calculs manuels.

Scénarios SSA

  • a=5, b=10, A=30° → a = h, donc une solution.
  • a=7, b=10, A=30° → h < a < b, donc deux solutions.

Dérivation Mathématique et Formules

  • Dériver la Loi des Sinus à partir des principes de base
  • La formule pour l'aire d'un triangle utilisant le sinus
  • Connexion au cercle circonscrit d'un triangle
La Loi des Sinus peut être dérivée en considérant l'aire d'un triangle ou en utilisant les propriétés de son cercle circonscrit.
Dérivation Basée sur l'Aire
L'aire de tout triangle peut être exprimée de plusieurs façons : Aire = (1/2)absin(C) = (1/2)bcsin(A) = (1/2)ac*sin(B). Si vous divisez l'expression entière par (1/2)abc, vous obtenez sin(C)/c = sin(A)/a = sin(B)/b. Prendre l'inverse donne la Loi des Sinus.
Connexion au Cercle Circonscrit
Le rapport dans la Loi des Sinus est également égal au diamètre du cercle circonscrit du triangle (le cercle unique qui passe par les trois sommets). a/sin(A) = 2R, où R est le rayon circonscrit.

Formules de Base

  • Aire = (1/2) * côté a * côté b * sin(Angle C)
  • a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R