La résolution du paradoxe de Galilée vint des siècles plus tard grâce au travail révolutionnaire de Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. Cantor développa un cadre mathématique rigoureux pour traiter les ensembles infinis, introduisant le concept de cardinalité qui pouvait gérer les quantités infinies de manière systématique.
Définition Formelle de la Cardinalité
Dans le cadre de Cantor, deux ensembles ont la même cardinalité si et seulement s'il existe une bijection (correspondance un-à-un) entre eux. Cette définition fonctionne parfaitement pour les ensembles finis mais devient la clé pour comprendre les ensembles infinis. La cardinalité des nombres naturels est notée ℵ₀ (aleph-zéro), le plus petit nombre cardinal infini.
Pour le paradoxe de Galilée, nous définissons la bijection f: ℕ → S où S est l'ensemble des carrés parfaits, par f(n) = n². Cette fonction est : (1) Injective : si f(a) = f(b), alors a² = b², ce qui implique a = b ; (2) Surjective : pour chaque carré parfait s, il existe n = √s tel que f(n) = s ; (3) Donc bijective, prouvant |ℕ| = |S|.
L'Intuition de Cantor et la Compréhension Moderne
L'intuition révolutionnaire de Cantor était que la propriété d'être un sous-ensemble propre n'est pas incompatible avec avoir la même cardinalité dans les ensembles infinis. En fait, cela devient une caractéristique définissante : un ensemble est infini si et seulement s'il peut être mis en correspondance un-à-un avec un sous-ensemble propre de lui-même. C'est connu comme la propriété Dedekind-infinie.
Les nombres naturels, entiers, rationnels et carrés parfaits ont tous la même cardinalité ℵ₀, les rendant dénombrablement infinis. Cependant, Cantor prouva aussi que les nombres réels ont une cardinalité strictement plus grande (2^ℵ₀), démontrant qu'il y a effectivement différentes 'tailles' d'infini.