Calculateur de Produit Tensoriel

Algèbre Linéaire et Matrices

Calculez le produit tensoriel (produit extérieur) de deux vecteurs. Entrez les vecteurs sous forme de nombres séparés par des virgules ou des espaces pour calculer leur matrice de produit tensoriel.

Exemples : 1, 2, 3 ou 1 2 3

Exemples : 4, 5 ou 4 5

Exemples de Produit Tensoriel

Calculs courants de produit tensoriel

Vecteurs 2D de Base

Format Matriciel

Produit tensoriel simple de deux vecteurs bidimensionnels

u: [1, 2]

v: [3, 4]

Format: matrix

Vecteurs 3D et 2D

Format Matriciel

Produit tensoriel de vecteurs de dimensions différentes

u: [1, 2, 3]

v: [4, 5]

Format: matrix

Vecteurs Unitaires

Vecteur Aplatí

Produit tensoriel de vecteurs unitaires au format aplati

u: [1, 0]

v: [0, 1]

Format: flattened

Vecteurs d'État Quantique

Format Matriciel

Produit tensoriel couramment utilisé en mécanique quantique

u: [0.7071, 0.7071]

v: [1, 0]

Format: matrix

Autres titres
Comprendre le Calculateur de Produit Tensoriel : Un Guide Complet
Maîtrisez les produits tensoriels avec des explications détaillées et des exemples pratiques

Qu'est-ce qu'un Produit Tensoriel ?

  • Définition et Concepts de Base
  • Notation Mathématique
  • Propriétés des Produits Tensoriels
Le produit tensoriel, également connu sous le nom de produit extérieur, est une opération fondamentale en algèbre linéaire qui crée un nouveau vecteur ou une nouvelle matrice à partir de deux vecteurs existants. Pour les vecteurs u et v, le produit tensoriel u ⊗ v produit une matrice où chaque élément est le produit des éléments correspondants des deux vecteurs.
Définition Mathématique
Étant donné deux vecteurs u = [u₁, u₂, ..., uₘ] et v = [v₁, v₂, ..., vₙ], leur produit tensoriel u ⊗ v est une matrice m × n où l'élément à la position (i,j) est uᵢ × vⱼ. Cette opération est également appelée produit de Kronecker lorsqu'elle est appliquée aux matrices.
Propriétés Clés
Le produit tensoriel a plusieurs propriétés importantes : il est bilinéaire, associatif (lorsqu'il est étendu à plusieurs vecteurs), et distributif par rapport à l'addition vectorielle. Cependant, il n'est pas commutatif, ce qui signifie que u ⊗ v ≠ v ⊗ u en général.

Exemples de Base de Produit Tensoriel

  • Pour u = [1, 2] et v = [3, 4], u ⊗ v = [[3, 4], [6, 8]]
  • Pour u = [1, 0] et v = [0, 1], u ⊗ v = [[0, 1], [0, 0]]

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur de Produit Tensoriel

  • Préparation des Entrées
  • Processus de Calcul
  • Interprétation des Résultats
Utiliser notre calculateur de produit tensoriel est simple et conçu pour les débutants et les utilisateurs avancés. Le calculateur accepte les vecteurs dans plusieurs formats et fournit des résultats clairs et détaillés.
Préparer Vos Entrées
Entrez vos vecteurs sous forme de nombres séparés par des virgules ou des espaces. Par exemple, vous pouvez saisir '1, 2, 3' ou '1 2 3' pour un vecteur tridimensionnel. Le calculateur analyse automatiquement les deux formats et valide votre entrée.
Comprendre les Résultats
Le calculateur fournit des résultats dans deux formats : format matriciel (montrant la matrice complète du produit tensoriel) et format vecteur aplati (montrant tous les éléments dans une seule ligne). Choisissez le format qui convient le mieux à vos besoins.

Exemples de Calcul Étape par Étape

  • Entrée : u = [2, 3], v = [1, 4] → Résultat : [[2, 8], [3, 12]]
  • Entrée : u = [1, 0, 1], v = [2, 1] → Résultat : [[2, 1], [0, 0], [2, 1]]

Applications Réelles des Produits Tensoriels

  • Mécanique Quantique
  • Apprentissage Automatique
  • Traitement du Signal
Les produits tensoriels ont de nombreuses applications dans divers domaines de la science et de l'ingénierie. Comprendre ces applications aide à apprécier l'importance de cette opération mathématique.
Mécanique Quantique
En mécanique quantique, les produits tensoriels sont utilisés pour décrire des systèmes quantiques composites. Lorsque deux systèmes quantiques sont combinés, leur espace d'état est le produit tensoriel de leurs espaces d'état individuels. Ceci est fondamental pour comprendre l'intrication et l'informatique quantique.
Apprentissage Automatique et Science des Données
Les produits tensoriels sont utilisés en apprentissage automatique pour l'expansion de caractéristiques, les méthodes à noyau et les architectures de réseaux de neurones. Ils aident à créer des espaces de caractéristiques de dimension supérieure qui peuvent capturer des relations complexes dans les données.
Traitement du Signal
Dans le traitement du signal, les produits tensoriels sont utilisés pour l'analyse de signaux multidimensionnels, le traitement d'images et la création de filtres séparables. Ils permettent un traitement efficace des données multidimensionnelles.

Exemples d'Applications

  • États quantiques : |ψ⟩ = |0⟩ ⊗ |1⟩ représente un système à deux qubits
  • Expansion de caractéristiques : φ(x) = x ⊗ x crée des caractéristiques quadratiques
  • Filtres d'image : Flou gaussien = Gₓ ⊗ Gᵧ (filtre séparable)

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • Produit Tensoriel vs Produit Scalaire
  • Considérations de Dimension
  • Erreurs de Calcul Courantes
De nombreux étudiants confondent les produits tensoriels avec d'autres opérations vectorielles. Comprendre les différences est crucial pour une application correcte dans divers contextes.
Produit Tensoriel vs Produit Scalaire
Le produit tensoriel crée une matrice à partir de deux vecteurs, tandis que le produit scalaire crée un scalaire. Le produit tensoriel préserve toutes les informations des deux vecteurs, tandis que le produit scalaire les réduit à un seul nombre représentant leur similarité.
Gestion des Dimensions
Une idée fausse courante est que les vecteurs doivent avoir la même dimension pour le produit tensoriel. En fait, les vecteurs peuvent avoir des dimensions différentes, et le résultat sera une matrice m × n où m et n sont les dimensions des vecteurs d'entrée.
L'Ordre Compte
Contrairement au produit scalaire, le produit tensoriel n'est pas commutatif. u ⊗ v produit une matrice différente de v ⊗ u. Le premier vecteur détermine les lignes et le deuxième vecteur détermine les colonnes.

Erreurs Courantes à Éviter

  • u·v = scalaire (produit scalaire) vs u ⊗ v = matrice (produit tensoriel)
  • u = [1, 2], v = [3, 4, 5] → u ⊗ v est une matrice 2×3, v ⊗ u est une matrice 3×2

Dérivation Mathématique et Exemples

  • Définition Formelle
  • Algorithme de Calcul
  • Exemples Avancés
La fondation mathématique des produits tensoriels s'étend au-delà des simples opérations vectorielles pour englober des structures algébriques plus larges et des méthodes de calcul.
Définition Mathématique Formelle
Pour les vecteurs u ∈ ℝᵐ et v ∈ ℝⁿ, le produit tensoriel u ⊗ v ∈ ℝᵐˣⁿ est défini comme (u ⊗ v)ᵢⱼ = uᵢvⱼ pour tout i ∈ {1,...,m} et j ∈ {1,...,n}. Cette définition s'étend naturellement aux tenseurs d'ordre supérieur et aux structures algébriques plus complexes.
Complexité de Calcul
Le calcul du produit tensoriel a une complexité temporelle O(mn), où m et n sont les dimensions des vecteurs d'entrée. Cela le rend efficace pour la plupart des applications pratiques.
Connexion aux Produits de Kronecker
Le produit tensoriel de vecteurs est étroitement lié au produit de Kronecker de matrices. En traitant les vecteurs comme des matrices colonnes, le produit tensoriel u ⊗ v égale le produit de Kronecker de u comme vecteur colonne avec vᵀ comme vecteur ligne.

Exemples Mathématiques

  • u = [a, b], v = [c, d] → u ⊗ v = [[ac, ad], [bc, bd]]
  • u = [1, 2, 3], v = [4, 5] → u ⊗ v = [[4, 5], [8, 10], [12, 15]]
  • Pour les vecteurs unitaires eᵢ ⊗ eⱼ, le résultat est une matrice avec 1 à la position (i,j) et 0 ailleurs