Calculateur du Théorème de Pythagore

Calculez les côtés d'un triangle rectangle en utilisant la formule a² + b² = c².

Sélectionnez quel côté vous voulez calculer, entrez les longueurs des côtés connus, et obtenez le côté manquant instantanément.

Exemples Pratiques

Cliquez sur n'importe quel exemple pour charger les données dans le calculateur et voir comment cela fonctionne.

Find Hypotenuse 'c'

Trouver l'Hypoténuse 'c'

A classic 3-4-5 right triangle. Given legs a=3 and b=4, find the hypotenuse.

Côté à Calculer: c

Côté a: 3

Côté b: 4

Find Leg 'a'

Trouver le Côté 'a'

A common 5-12-13 right triangle. Given leg b=12 and hypotenuse c=13, find leg a.

Côté à Calculer: a

Côté b: 12

Côté c: 13

Find Leg 'b'

Trouver le Côté 'b'

An 8-15-17 right triangle. Given leg a=8 and hypotenuse c=17, find leg b.

Côté à Calculer: b

Côté a: 8

Côté c: 17

Decimal Values

Valeurs Décimales

A right triangle with decimal lengths. Given a=2.5 and b=6, find the hypotenuse.

Côté à Calculer: c

Côté a: 2.5

Côté b: 6

Autres titres
Comprendre le Théorème de Pythagore : Un Guide Complet
Un aperçu approfondi du célèbre théorème, ses applications et comment utiliser ce calculateur efficacement.

Qu'est-ce que le Théorème de Pythagore ?

  • La Formule Principale : a² + b² = c²
  • Comprendre les Parties d'un Triangle Rectangle
  • Un Bref Historique du Théorème
Le Théorème de Pythagore est un principe fondamental de la géométrie euclidienne qui décrit la relation entre les trois côtés d'un triangle rectangle. Un triangle rectangle est tout triangle qui a un angle égal à exactement 90 degrés.
La Formule
Le théorème est énoncé comme l'équation algébrique : a² + b² = c². Dans cette équation, 'a' et 'b' représentent les longueurs des deux côtés les plus courts du triangle, appelés les 'côtés'. Le côté 'c' représente la longueur du côté le plus long, qui est appelé l' 'hypoténuse'. L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit.
Cette formule puissante vous permet de trouver la longueur d'un côté manquant si vous connaissez les longueurs des deux autres côtés.

Triplets Pythagoriciens Communs

  • 3, 4, 5 (puisque 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²)
  • 5, 12, 13 (puisque 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²)
  • 8, 15, 17 (puisque 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²)

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Choisir Quel Côté Calculer
  • Saisir Vos Valeurs Connues
  • Interpréter les Résultats et les Étapes
Notre calculateur simplifie le processus d'application du théorème de Pythagore. Voici comment l'utiliser :
1. Sélectionnez le Côté à Calculer
Commencez par utiliser le menu déroulant 'Côté à Calculer'. Choisissez si vous devez trouver la longueur du Côté 'a', du Côté 'b', ou de l'Hypoténuse 'c'.
2. Entrez les Longueurs des Côtés Connus
Le calculateur affichera des champs de saisie pour les deux côtés que vous devez connaître. Par exemple, si vous calculez 'c', vous devrez entrer des valeurs pour 'a' et 'b'. Entrez des nombres positifs dans ces champs.
3. Calculez et Affichez les Résultats
Cliquez sur le bouton 'Calculer'. L'outil affichera instantanément la longueur du côté manquant, avec un détail étape par étape de la façon dont la réponse a été dérivée.

Scénarios de Calcul

  • Calculer l'Hypoténuse 'c' : La formule utilisée est c = √(a² + b²).
  • Calculer le Côté 'a' : La formule utilisée est a = √(c² - b²). Notez que c doit être plus grand que b.
  • Calculer le Côté 'b' : La formule utilisée est b = √(c² - a²). Notez que c doit être plus grand que a.

Applications Réelles du Théorème de Pythagore

  • Architecture et Construction
  • Navigation et Arpentage
  • Design et Graphiques
Le théorème de Pythagore n'est pas seulement un exercice académique ; il est utilisé pour résoudre des problèmes pratiques tous les jours.
Construction et Architecture
Les constructeurs et architectes utilisent le théorème pour s'assurer que les coins sont parfaitement carrés. En mesurant deux côtés d'une fondation ou d'un cadre (par exemple, 3 pieds et 4 pieds), ils peuvent vérifier si la mesure diagonale est correcte (5 pieds) pour confirmer un véritable angle de 90 degrés.
Navigation
Les pilotes et capitaines de navire peuvent utiliser le théorème pour calculer la distance la plus courte entre deux points. S'ils voyagent une certaine distance vers l'est puis une certaine distance vers le nord, leur distance en ligne droite depuis le point de départ forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
Jeux Vidéo et Graphiques
En infographie, la distance entre deux objets (ou pixels) sur un écran 2D est souvent calculée en utilisant le théorème de Pythagore, qui est essentiel pour la détection de collision, le mouvement des personnages, et plus encore.

Exemples d'Applications

  • Une échelle appuyée contre un mur forme un triangle rectangle. Si le mur fait 12 pieds de haut et la base de l'échelle est à 5 pieds du mur, la longueur de l'échelle est de 13 pieds.
  • La taille d'un écran de télévision est sa diagonale. Un écran de 40 pouces de large et 30 pouces de haut serait une télévision de 50 pouces.

Idées Fausses Communes et Méthodes Correctes

  • L'Appliquer aux Triangles Non-Rectangles
  • Confondre les Côtés et l'Hypoténuse
  • Oublier de Prendre la Racine Carrée
Bien que puissant, le théorème de Pythagore est parfois mal appliqué. Comprendre ces erreurs communes peut aider à s'assurer que vous obtenez le bon résultat.
Erreur 1 : L'Utiliser pour N'importe Quel Triangle
La règle la plus critique est que le théorème de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Pour les autres triangles (aigus ou obtus), vous devez utiliser d'autres lois, comme la Loi des Sinus ou la Loi des Cosinus.
Erreur 2 : Confondre 'c' avec 'a' ou 'b'
L'hypoténuse 'c' est toujours le côté le plus long et doit être utilisée seule d'un côté de l'équation. Lors du calcul d'un côté ('a' ou 'b'), vous devez soustraire son carré du carré de l'hypoténuse (par exemple, c² - b²), et non l'inverse. L'hypoténuse doit toujours être plus grande que n'importe quel côté.
Erreur 3 : Oublier l'Étape Finale
Une omission commune est de calculer a² + b² et d'oublier de prendre la racine carrée pour trouver 'c'. Rappelez-vous, la formule vous donne c², pas 'c'.

Exemples de Correction

  • Incorrect : a=3, c=5. Calculer b = √(3² + 5²) est faux.
  • Correct : a=3, c=5. Calculer b = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4.

Dérivation Mathématique et Preuves

  • Preuve Géométrique d'Euclide par Réarrangement
  • Une Preuve Algébrique
  • La Relation avec la Formule de Distance
Il existe des centaines de preuves publiées du théorème de Pythagore. La plupart tombent dans deux catégories : les preuves géométriques (utilisant les aires) et les preuves algébriques.
Preuve par Réarrangement
Une des preuves les plus intuitives implique un grand carré avec une longueur de côté de (a+b). À l'intérieur de ce carré, vous pouvez placer quatre triangles rectangles identiques (avec les côtés a, b, c) et un petit carré avec le côté 'c'. L'aire totale peut être exprimée de deux façons : comme (a+b)² et comme la somme des aires des quatre triangles (4 1/2 a * b) plus l'aire du carré intérieur (c²). En les égalant et en simplifiant, on prouve que a² + b² = c².
La Formule de Distance
Le théorème de Pythagore est aussi la base de la formule de distance en géométrie coordonnée. La distance 'd' entre deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂) est donnée par d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²), qui est une application directe du théorème où (x₂-x₁) et (y₂-y₁) sont les côtés 'a' et 'b' du triangle.

Concepts Liés aux Preuves

  • Aire du carré extérieur : (a+b)² = a² + 2ab + b²
  • Aire des parties intérieures : 4(½ab) + c² = 2ab + c²
  • Les égaliser : a² + 2ab + b² = 2ab + c² => a² + b² = c²