Calculateur de Valeurs Singulières

Algèbre Linéaire et Matrices

Entrez votre matrice pour calculer ses valeurs singulières en utilisant la Décomposition en Valeurs Singulières (SVD). Le calculateur affichera toutes les valeurs singulières par ordre décroissant ainsi que les propriétés de la matrice.

Entrez les éléments de la matrice séparés par des virgules ou des espaces. Chaque ligne doit être sur une nouvelle ligne.

Exemples de Matrices

Cliquez sur n'importe quel exemple pour le charger dans le calculateur

Matrice Identité 2×2

Matrice Identité 2×2

Matrice identité simple avec des valeurs singulières de 1

Dimensions de la Matrice: 2×2

1, 0
0, 1

Matrice Diagonale 3×3

Matrice Diagonale 3×3

Matrice diagonale avec des valeurs singulières claires

Dimensions de la Matrice: 3×3

4, 0, 0
0, 3, 0
0, 0, 2

Matrice Rectangulaire 2×3

Matrice Rectangulaire 2×3

Matrice non carrée pour l'analyse SVD

Dimensions de la Matrice: 2×3

1, 2, 3
4, 5, 6

Matrice de Hilbert 3×2

Matrice de Hilbert 3×2

Matrice bien connue avec des propriétés spécifiques de valeurs singulières

Dimensions de la Matrice: 3×2

1, 0.5
0.5, 0.333
0.333, 0.25
Autres titres
Comprendre le Calculateur de Valeurs Singulières : Un Guide Complet
Maîtrisez les fondamentaux de la Décomposition en Valeurs Singulières et de l'analyse matricielle avec notre guide détaillé

Que sont les Valeurs Singulières ?

  • Définition Mathématique
  • Interprétation Géométrique
  • Relation avec les Valeurs Propres
Les valeurs singulières sont des concepts fondamentaux en algèbre linéaire qui découlent de la Décomposition en Valeurs Singulières (SVD) des matrices. Pour toute matrice A de taille m×n, les valeurs singulières sont les racines carrées non négatives des valeurs propres de A^T A (ou AA^T, selon laquelle est plus petite).
Fondation Mathématique
La Décomposition en Valeurs Singulières exprime toute matrice A comme A = UΣV^T, où U et V sont des matrices orthogonales, et Σ est une matrice diagonale contenant les valeurs singulières σ₁ ≥ σ₂ ≥ ... ≥ σₙ ≥ 0.
Signification Géométrique
Géométriquement, les valeurs singulières représentent à quel point la matrice étire les vecteurs unitaires dans différentes directions. La plus grande valeur singulière indique le facteur d'étirement maximum, tandis que la plus petite montre l'étirement minimum.
Connexion avec les Valeurs Propres
Alors que les valeurs propres ne s'appliquent qu'aux matrices carrées, les valeurs singulières existent pour toute matrice. Pour les matrices symétriques, les valeurs singulières sont les valeurs absolues des valeurs propres.

Exemples Simples

  • Pour une matrice identité 2×2, les deux valeurs singulières sont 1
  • Une matrice diagonale a des valeurs singulières égales aux valeurs absolues de ses éléments diagonaux

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur de Valeurs Singulières

  • Préparation des Données
  • Interface du Calculateur
  • Interprétation des Résultats
Notre Calculateur de Valeurs Singulières est conçu pour rendre le calcul SVD simple et accessible. Suivez ces étapes pour obtenir des résultats précis pour votre analyse matricielle.
Préparer la Saisie de Matrice
Entrez votre matrice avec chaque ligne sur une ligne séparée. Séparez les éléments dans une ligne en utilisant des virgules ou des espaces. Assurez-vous que toutes les lignes ont le même nombre d'éléments pour un format de matrice valide.
Utiliser le Calculateur
Saisissez vos données matricielles, spécifiez les dimensions si nécessaire, choisissez votre format de sortie préféré, et cliquez sur 'Calculer les Valeurs Singulières'. L'outil validera automatiquement votre saisie et calculera la SVD.
Comprendre la Sortie
Les résultats incluent toutes les valeurs singulières par ordre décroissant, les propriétés de la matrice comme le rang et le nombre de condition, et diverses normes matricielles. Utilisez ces valeurs pour analyser les propriétés numériques de votre matrice.

Exemples d'Utilisation

  • Saisie : '1,2\n3,4' représente la matrice 2×2 [[1,2],[3,4]]
  • La sortie inclut σ₁ = 5.465, σ₂ = 0.366 pour cet exemple

Applications Réelles des Valeurs Singulières

  • Science des Données et Apprentissage Automatique
  • Traitement du Signal
  • Applications d'Ingénierie
Les valeurs singulières ont de nombreuses applications pratiques dans la science, l'ingénierie et l'analyse de données. Comprendre ces applications aide à apprécier l'importance de la SVD dans les méthodes computationnelles modernes.
Analyse en Composantes Principales (ACP)
En science des données, les valeurs singulières de la SVD sont utilisées dans l'ACP pour la réduction de dimensionnalité. Les plus grandes valeurs singulières correspondent aux composantes principales qui capturent plus de variance dans les données.
Compression et Traitement d'Images
La SVD permet la compression d'images avec perte en conservant seulement les plus grandes valeurs singulières et leurs vecteurs correspondants. Cette technique réduit la taille des fichiers tout en préservant la qualité de l'image.
Analyse Numérique et Stabilité
Le nombre de condition (rapport de la plus grande à la plus petite valeur singulière) indique à quel point un système linéaire est sensible aux erreurs numériques. Ceci est crucial dans les simulations d'ingénierie et le calcul scientifique.

Applications Industrielles

  • Les systèmes de recommandation Netflix utilisent la SVD pour le filtrage collaboratif
  • L'algorithme PageRank de Google repose sur les calculs de valeurs singulières
  • Les modèles de prévision météorologique utilisent la SVD pour l'assimilation de données

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • SVD vs Décomposition en Valeurs Propres
  • Problèmes de Précision Numérique
  • Erreurs d'Interprétation
De nombreux étudiants et praticiens ont des idées fausses sur les valeurs singulières et leur calcul. Clarifier ces points assure une compréhension et une application appropriées des techniques SVD.
La SVD n'est pas seulement pour les Matrices Carrées
Contrairement à la décomposition en valeurs propres, la SVD fonctionne pour toute matrice, y compris les matrices rectangulaires. C'est un avantage clé qui rend la SVD plus généralement applicable que l'analyse des valeurs propres.
Considérations de Précision Numérique
Les petites valeurs singulières proches de la précision machine peuvent ne pas être fiables. Considérez toujours le rang numérique plutôt que le rang théorique lors du travail avec des données réelles.
Interprétation Appropriée des Résultats
Les valeurs singulières sont toujours non négatives et ordonnées de la plus grande à la plus petite. Les valeurs singulières nulles indiquent une dépendance linéaire parmi les colonnes ou lignes de la matrice.

Pièges Courants

  • Une matrice 3×2 peut avoir au maximum 2 valeurs singulières non nulles
  • Les nombres de condition au-dessus de 10¹² indiquent une instabilité numérique potentielle

Dérivation Mathématique et Exemples Avancés

  • Aperçu de l'Algorithme SVD
  • Exemples de Matrices Complexes
  • Complexité Computationnelle
La fondation mathématique de la SVD implique des concepts sophistiqués d'algèbre linéaire. Comprendre la dérivation aide à apprécier l'élégance et la puissance de cette méthode de décomposition.
Fondation Théorique
L'existence de la SVD est garantie par le théorème spectral. Pour toute matrice A, nous pouvons construire A^T A (ou AA^T), trouver ses valeurs propres et vecteurs propres, et dériver systématiquement les composantes SVD.
Algorithmes Computationnels
Les algorithmes SVD modernes utilisent des méthodes itératives comme l'algorithme de Golub-Reinsch ou des approches diviser-pour-régner. Ces méthodes équilibrent la stabilité numérique avec l'efficacité computationnelle.
Analyse de Complexité
Le calcul de la SVD a une complexité O(mn²) pour une matrice m×n où m≥n. Pour les grandes matrices, des algorithmes spécialisés et des méthodes d'approximation sont souvent nécessaires.

Exemples Mathématiques Avancés

  • La matrice de Hilbert H(i,j) = 1/(i+j-1) a des valeurs singulières qui diminuent exponentiellement
  • Les matrices aléatoires ont des valeurs singulières suivant la distribution de Marchenko-Pastur