Calculatrice de moyenne harmonique

Calculez la moyenne harmonique d'un ensemble de nombres, parfaite pour la moyenne des taux.

Saisissez une liste de nombres pour calculer leur moyenne harmonique. Ce type de moyenne est crucial pour des taux comme la vitesse.

Saisissez des nombres séparés par des virgules ou des espaces. Toutes les valeurs doivent être positives.

Exemples

Cliquez sur un exemple pour charger ses données dans la calculatrice.

Average Speed Calculation

Calcul de la vitesse moyenne

Calculating the average speed for a trip with two different speeds over the same distance.

Nombres: [60, 40]

Financial Ratio Averaging

Moyenne de ratios financiers

Averaging Price-to-Earnings (P/E) ratios for multiple investments.

Nombres: [20, 30]

Basic Integer Set

Ensemble d'entiers de base

A simple calculation with a set of whole numbers.

Nombres: [2, 4, 8]

Dataset with Decimals

Jeu de données avec décimales

Calculating the harmonic mean for a set of decimal numbers.

Nombres: [1.5, 2.5, 3.5, 4.5]

Autres titres
Comprendre la moyenne harmonique : guide complet
Apprenez ce qu'est la moyenne harmonique, en quoi elle diffère d'autres moyennes comme la moyenne arithmétique, et ses cas d'utilisation spécifiques, en particulier pour la moyenne des taux.

Qu'est-ce que la moyenne harmonique ? Fondements et concepts mathématiques

  • La moyenne harmonique est un type de moyenne numérique.
  • Elle est calculée comme le nombre de valeurs divisé par la somme de leurs réciproques.
  • C'est la moyenne la plus appropriée pour les taux et les ratios.
La moyenne harmonique est l'une des trois moyennes pythagoriciennes, aux côtés de la moyenne arithmétique et de la moyenne géométrique. Bien que la moyenne arithmétique soit le type de "moyenne" le plus courant, la moyenne harmonique est spécifiquement conçue pour les situations impliquant la moyenne de taux.
La formule de la moyenne harmonique (H) d'un ensemble de n nombres (x₁, x₂, ..., xₙ) est : H = n / (Σ(1/xᵢ)). Elle a tendance à donner moins de poids aux grandes valeurs et davantage aux petites valeurs par rapport à la moyenne arithmétique. Elle ne peut pas être utilisée si l'une des valeurs est nulle ou négative.
Caractéristiques clés
  • Axée sur les taux : Idéale pour moyenner des quantités comme la vitesse, où les données sont exprimées sous forme de ratio (par ex., distance/temps).
  • Domination des petites valeurs : La moyenne harmonique est fortement influencée par les plus petites valeurs de l'ensemble de données.
  • Inégalité pythagoricienne : Pour tout ensemble de nombres positifs, la moyenne harmonique est toujours inférieure ou égale à la moyenne géométrique, elle-même inférieure ou égale à la moyenne arithmétique (H ≤ G ≤ A).

Exemples de base

  • La moyenne harmonique de 1, 2 et 4 est 3 / (1/1 + 1/2 + 1/4) = 3 / (1.75) ≈ 1.714.
  • La moyenne arithmétique de 1, 2 et 4 est (1+2+4)/3 = 7/3 ≈ 2.333.
  • Notez que la moyenne harmonique est toujours la plus petite des trois moyennes pythagoriciennes pour des nombres non identiques.

Guide étape par étape pour utiliser la calculatrice de moyenne harmonique

  • Maîtrisez le format de saisie de votre série de nombres.
  • Comprenez les exigences pour une saisie valide.
  • Interprétez les résultats, y compris le détail de la formule.
Notre calculatrice simplifie le processus de calcul de la moyenne harmonique, en fournissant des résultats instantanés et précis.
Consignes de saisie :
  • Séquence de nombres : Saisissez vos nombres séparés par des virgules (ex., 10, 20, 30) ou des espaces (ex., 10 20 30). La calculatrice gère les deux formats.
  • Contraintes de données : Tous les nombres doivent être positifs et non nuls. La calculatrice affichera une erreur si vous saisissez des zéros, des nombres négatifs ou du texte non numérique.
Interprétation des résultats :
La carte de résultats affichera :
  • Moyenne harmonique : La moyenne calculée finale.
  • Nombre de valeurs : La quantité totale de valeurs (n) que vous avez saisies.
  • Somme des réciproques : La somme des réciproques (Σ(1/xᵢ)) utilisée au dénominateur de la formule.

Exemples d'utilisation

  • Pour trouver la moyenne harmonique de 10, 20 et 30 : saisissez '10, 20, 30'. Résultat : ≈ 16.364.
  • Pour l'ensemble {2, 4, 8} : saisissez '2, 4, 8'. Résultat : ≈ 3.429.

Applications réelles de la moyenne harmonique

  • Physique : calcul de la vitesse moyenne sur un trajet.
  • Finance : moyenne de multiples de valorisation comme le ratio C/B (P/E).
  • Autres domaines : utilisé en hydrologie, génétique des populations et informatique.
La moyenne harmonique n'est pas qu'un concept académique ; elle est cruciale dans de nombreux domaines pratiques où l'on a besoin de la moyenne de taux.
Vitesse moyenne :
C'est l'exemple classique. Si vous parcourez une certaine distance à une vitesse 'x' et revenez la même distance à une vitesse 'y', votre vitesse moyenne est la moyenne harmonique de x et y. Par exemple, si vous conduisez jusqu'à une ville à 100 miles à 50 mph et revenez à 100 mph, votre vitesse moyenne pour l'ensemble du trajet est la moyenne harmonique de 50 et 100, soit environ 66.67 mph, et non la moyenne arithmétique de 75 mph.
Finance :
En finance, la moyenne harmonique est utilisée pour moyenner des multiples tels que le ratio cours/bénéfice (C/B, P/E). Si un investisseur achète des actions au fil du temps avec un montant fixe, le coût moyen par action est la moyenne harmonique des prix. Elle fournit une mesure plus précise du prix de revient que la moyenne arithmétique.
Électronique :
Lors du calcul de la résistance totale de plusieurs résistances montées en parallèle, la formule utilisée est équivalente à la moyenne harmonique des résistances divisée par le nombre de résistances.

Scénarios réels

  • Une voiture roule à 60 km/h pendant les 10 premiers kilomètres et à 40 km/h pendant les 10 suivants. La vitesse moyenne est la moyenne harmonique de 60 et 40, soit 48 km/h.
  • Vous investissez $1000 dans une action avec un C/B de 20 et $1000 dans une action avec un C/B de 30. Le C/B moyen de votre portefeuille est la moyenne harmonique de 20 et 30, soit 24.

Idées reçues courantes et méthodes correctes

  • Confusion entre moyennes harmonique et arithmétique pour les taux.
  • Mauvaise gestion des valeurs nulles ou négatives.
  • Ignorer la sensibilité de la moyenne harmonique aux petites valeurs.
L'erreur la plus courante est d'utiliser la moyenne arithmétique familière lorsque la moyenne harmonique est requise, ce qui conduit à des conclusions incorrectes.
Moyenne arithmétique vs moyenne harmonique pour les taux
  • Faux : Pour trouver la vitesse moyenne d'un aller à 30 mph et d'un retour à 60 mph, calculer (30 + 60) / 2 = 45 mph est incorrect, car le temps passé à chaque vitesse est différent.
  • Correct : Étant donné que la distance est constante pour les deux parties du trajet, nous devons utiliser la moyenne harmonique pour moyenner les vitesses. H = 2 / (1/30 + 1/60) = 2 / (0.05) = 40 mph. La véritable vitesse moyenne est de 40 mph.
Sensibilité aux petites valeurs
La moyenne harmonique est fortement influencée par les plus petites valeurs d'un ensemble de données. Un seul nombre très petit peut faire baisser considérablement la moyenne harmonique, bien plus qu'il n'affecterait la moyenne arithmétique. Cela s'explique par le fait que les petits nombres ont de grands réciproques, qui dominent la somme au dénominateur de la formule.

Exemples de correction

  • Ensemble {1, 10, 100} : moyenne arithmétique = 37. Moyenne harmonique ≈ 2,7. La petite valeur '1' exerce une forte attraction.
  • Ensemble {10, 100, 1000} : moyenne arithmétique = 370. Moyenne harmonique ≈ 27,3. Toujours la plus petite moyenne, mais moins biaisée que dans le premier exemple.

Dérivation mathématique et propriétés

  • La formule en relation avec les autres moyennes pythagoriciennes.
  • Le concept de moyenne harmonique pondérée.
  • Sa structure algébrique et son origine.
La moyenne harmonique fait partie d'un trio de moyennes classiques aux relations mathématiques profondes.
Inégalité des moyennes pythagoriciennes
Pour tout ensemble de nombres positifs {x₁, x₂, ..., xₙ}, l'inégalité suivante tient : moyenne harmonique (H) ≤ moyenne géométrique (G) ≤ moyenne arithmétique (A). Les trois moyennes ne sont égales que si tous les nombres de l'ensemble sont identiques (x₁ = x₂ = ... = xₙ).
Moyenne harmonique pondérée
Une version pondérée existe pour les cas où certaines valeurs ont plus d'importance. La formule est : H pondérée = (Σwᵢ) / (Σ(wᵢ/xᵢ)), où 'wᵢ' sont les poids correspondant à chaque valeur 'xᵢ'.
Définition algébrique
La moyenne harmonique est l'inverse de la moyenne arithmétique des réciproques. Cette définition met en évidence sa relation inverse avec la moyenne arithmétique et explique son adéquation pour la moyenne de taux.

Propriétés mathématiques

  • Pour l'ensemble {2, 8} : A = (2+8)/2 = 5 ; G = √(2*8) = 4 ; H = 2/(1/2+1/8) = 3,2. Cela illustre A > G > H.
  • Pour l'ensemble {5, 5, 5} : A = 5, G = 5, H = 5. Les trois moyennes sont égales.