Calculateur d'Orthonormalisation Gram-Schmidt

Convertissez un ensemble de vecteurs linéairement indépendants en une base orthogonale ou orthonormale.

Entrez vos vecteurs ci-dessous, un vecteur par ligne. Les nombres dans un vecteur doivent être séparés par des virgules ou des espaces. Le calculateur appliquera le processus de Gram-Schmidt pour générer deux ensembles de vecteurs de base.

Le nombre de dimensions sera déduit du premier vecteur.

Exemples

Cliquez sur n'importe quel exemple pour le charger dans le calculateur.

Basic 2D Vectors

Vecteurs 2D de Base

A simple case with two vectors in a 2D space.

Vecteurs:\n3, 1
2, 2

Standard 3D Basis

Base 3D Standard

Applying the process to three vectors in 3D.

Vecteurs:\n1, 1, 1
1, 0, 1
-1, 1, 0

Four 4D Vectors

Quatre Vecteurs 4D

A more complex example in a 4-dimensional space.

Vecteurs:\n1, 0, 1, 0
1, 1, 1, 1
0, 1, 2, 1

Linearly Dependent Set

Ensemble Linéairement Dépendant

An example with linearly dependent vectors to show how the process handles it.

Vecteurs:\n1, 1, 0
2, 2, 0
1, 0, 1
Autres titres
Comprendre l'Orthonormalisation Gram-Schmidt : Un Guide Complet
Une plongée approfondie dans le processus de Gram-Schmidt, ses fondements mathématiques, applications et calculs étape par étape.

Qu'est-ce que le Processus de Gram-Schmidt ?

  • Une méthode pour convertir un ensemble de vecteurs en un ensemble orthogonal ou orthonormal.
  • Une pierre angulaire de l'algèbre linéaire pour créer des bases vectorielles simplifiées.
  • Transforme une base en une forme plus structurée et utile pour les calculs.
Le processus de Gram-Schmidt est un algorithme utilisé en algèbre linéaire pour 'nettoyer' un ensemble de vecteurs. Étant donné un ensemble fini et linéairement indépendant de vecteurs dans un espace produit intérieur, il génère un ensemble orthogonal (où tous les vecteurs sont à angle droit les uns par rapport aux autres) et un ensemble orthonormal (où les vecteurs orthogonaux sont aussi des vecteurs unitaires, c'est-à-dire ont une longueur de 1).
Cette transformation est immensément utile car travailler avec des bases orthogonales ou orthonormales simplifie de nombreux calculs mathématiques, de la résolution de systèmes d'équations linéaires à l'analyse de données avec des techniques comme la décomposition QR.
L'Idée Centrale : Projection Vectorielle
Le processus fonctionne en prenant itérativement un vecteur et en soustrayant ses projections sur les vecteurs précédemment traités. Cela supprime toute composante du vecteur actuel qui se trouve dans la direction des précédents, garantissant que le nouveau vecteur est orthogonal à tous ceux-ci.

Concepts Fondamentaux

  • La base {v1, v2} devient {u1, u2} où u1 · u2 = 0.
  • Si v1 = (3, 1), v2 = (2, 2), le processus donne des vecteurs orthogonaux comme u1 = (3, 1) et u2 = (-0.4, 1.2).
  • Normaliser les vecteurs orthogonaux donne des vecteurs de longueur 1.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur Gram-Schmidt

  • Apprenez le format d'entrée correct pour vos vecteurs.
  • Comprenez comment interpréter les résultats orthogonaux et orthonormaux.
  • Résolvez les problèmes courants comme la dépendance linéaire.
Notre calculateur simplifie le processus de Gram-Schmidt en quelques étapes faciles, vous permettant de vous concentrer sur les résultats plutôt que sur le calcul manuel.
Directives d'Entrée :
  • Saisie de Vecteur : Entrez un vecteur par ligne dans la zone de texte. Par exemple, pour saisir trois vecteurs 3D, vous auriez trois lignes de texte.
  • Format de Nombre : Séparez les nombres (composantes) dans chaque vecteur en utilisant soit des virgules (,) soit des espaces. Par exemple, '1, 2, 3' et '1 2 3' sont tous deux valides.
  • Dimensionnalité : Assurez-vous que tous les vecteurs ont le même nombre de composantes. Le calculateur détermine la dimension à partir du premier vecteur que vous entrez.
Interprétation des Résultats :
  • Base Orthogonale : Ce premier ensemble de résultats contient des vecteurs qui sont mutuellement perpendiculaires (leur produit scalaire est zéro). Ces vecteurs ne sont pas normalisés.
  • Base Orthonormale : Ce deuxième ensemble contient des vecteurs qui ne sont pas seulement perpendiculaires mais ont aussi une longueur de 1. C'est souvent le résultat souhaité pour la plupart des applications.
  • Avertissement de Dépendance Linéaire : Si les vecteurs d'entrée sont linéairement dépendants, le processus produira au moins un vecteur nul. Notre calculateur signalera cela avec un avertissement.

Exemples d'Utilisation Pratique

  • Entrée : 1,1 1,0 Sortie (Orthonormale) : [0.707, 0.707] [0.707, -0.707]
  • Entrée : 1,0,0 1,1,0 1,1,1 Sortie (Orthogonale) : [1,0,0] [0,1,0] [0,0,1]
  • Saisir des vecteurs linéairement dépendants comme '1,1' et '2,2' donnera un vecteur nul.

Applications Réelles de Gram-Schmidt

  • Graphiques informatiques et modélisation 3D.
  • Apprentissage automatique et science des données.
  • Traitement du signal et communications.
Le processus de Gram-Schmidt n'est pas seulement un outil mathématique abstrait ; c'est un cheval de bataille dans de nombreux domaines de la science et de l'ingénierie.
Décomposition QR
L'une des applications les plus importantes est dans la décomposition QR, où une matrice A est factorisée en le produit d'une matrice orthogonale Q et d'une matrice triangulaire supérieure R. Les colonnes de Q sont les vecteurs orthonormaux obtenus en appliquant le processus de Gram-Schmidt aux colonnes de A. Cette décomposition est largement utilisée pour résoudre des systèmes linéaires et des problèmes de valeurs propres.
Apprentissage Automatique et Statistiques
Dans l'Analyse en Composantes Principales (ACP), une technique utilisée pour la réduction de dimensionnalité, les bases orthogonales sont essentielles pour trouver les directions de variance maximale dans un ensemble de données. Gram-Schmidt peut être utilisé pour construire ces bases.
Graphiques Informatiques
En graphiques 3D, créer un système de coordonnées ou une 'vue caméra' relative à un objet nécessite une base orthonormale (pour les vecteurs haut, droite et avant). Gram-Schmidt est un outil parfait pour créer cette base à partir de vecteurs de départ potentiellement non orthogonaux.

Applications Industrielles

  • Trouver le point le plus proche dans un sous-espace à un point donné.
  • Générer des approximations polynomiales de fonctions.
  • Créer des codes orthogonaux pour CDMA dans les communications mobiles.

Idées Fausses Courantes et Méthodes Correctes

  • L'ordre des vecteurs importe significativement.
  • Instabilité numérique avec des vecteurs presque dépendants.
  • Distinguer entre orthogonal et orthonormal.
Bien que puissant, le processus de Gram-Schmidt a des nuances qui peuvent conduire à la confusion ou à des résultats incorrects s'il n'est pas correctement compris.
Idée Fausse 1 : L'Ordre des Vecteurs n'Importe Pas
C'est incorrect. Changer l'ordre des vecteurs d'entrée {v1, v2, ..., vk} donnera un résultat différent pour la base orthogonale/orthonormale finale. Bien que les deux bases engendreront le même sous-espace, les vecteurs individuels seront différents. Le premier vecteur dans la base de sortie est toujours aligné avec le premier vecteur d'entrée.
Idée Fausse 2 : Cela Fonctionne pour N'Importe Quel Ensemble de Vecteurs
Le processus de Gram-Schmidt standard nécessite que les vecteurs d'entrée soient linéairement indépendants. S'ils sont dépendants, à un moment donné l'algorithme tentera de trouver un vecteur qui est une combinaison linéaire des précédents, résultant en un vecteur nul. Bien que notre calculateur gère cela, cela signale un problème avec l'ensemble initial.
Idée Fausse 3 : Orthogonal et Orthonormal sont les Mêmes
Orthogonal signifie que tous les vecteurs sont perpendiculaires (produit scalaire est 0). Orthonormal signifie qu'ils sont orthogonaux ET que chaque vecteur a une longueur de 1. La base orthonormale est généralement plus utile mais nécessite l'étape supplémentaire de normalisation.
Un problème courant est l'instabilité numérique. Quand les vecteurs sont 'presque' linéairement dépendants, la soustraction peut conduire à une perte de précision. Des versions plus stables, comme le processus de Gram-Schmidt modifié, sont souvent utilisées dans les logiciels de haute précision.

Exemples de Clarification

  • Traiter {v1, v2} donne un résultat différent que traiter {v2, v1}.
  • Saisir {(1,0), (0,1), (1,1)} produira un vecteur nul pour la troisième sortie.
  • Le vecteur orthogonal (2,0) devient le vecteur orthonormal (1,0) après normalisation.

Dérivation Mathématique et Formules

  • La formule de projection au cœur du processus.
  • L'algorithme itératif pour construire la base orthogonale.
  • L'étape finale de normalisation.
L'élégance du processus de Gram-Schmidt réside dans sa construction itérative simple, qui est construite sur le concept de projection vectorielle.
La Formule de Projection
La projection d'un vecteur v sur un autre vecteur u est donnée par la formule : proj_u(v) = ((v · u) / (u · u)) * u. Cette formule calcule l'ombre que le vecteur v projette sur la ligne définie par le vecteur u.
L'Algorithme
Soit l'ensemble initial de vecteurs linéairement indépendants {v1, v2, ..., vk}. Nous trouvons la base orthogonale {u1, u2, ..., uk} comme suit :
1. u1 = v1
2. u2 = v2 - proj_u1(v2)
3. u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3)
4. ...
5. uk = vk - Σ(de j=1 à k-1) proj_uj(vk)
À chaque étape, nous prenons le prochain vecteur original (vi) et soustrayons ses projections sur tous les vecteurs orthogonaux que nous avons déjà trouvés (u1, ..., ui-1). Le résultat est un nouveau vecteur (ui) qui est garanti d'être orthogonal à tous les précédents.
Normalisation
Pour obtenir la base orthonormale {e1, e2, ..., ek}, nous divisons simplement chaque vecteur orthogonal par sa magnitude (norme) : ei = ui / ||ui||, où ||ui|| = sqrt(ui1^2 + ui2^2 + ...).