Tracer les Inéquations Quadratiques

Visualisez les inéquations quadratiques et leurs solutions sur un plan 2D.

Entrez les coefficients de l'expression quadratique et sélectionnez le type d'inéquation pour générer une analyse détaillée et une description du graphique.

Exemples

Cliquez sur n'importe quel exemple pour le charger dans le calculateur.

Parabole Standard Vers le Haut

quadratic-inequality

Une inéquation simple avec une parabole s'ouvrant vers le haut et deux racines distinctes.

Coefficient a: 1

Coefficient b: -4

Coefficient c: 3

Inéquation: >

Parabole Vers le Bas (Ligne Pleine)

quadratic-inequality

Une inéquation avec une parabole s'ouvrant vers le bas et une inéquation non stricte.

Coefficient a: -1

Coefficient b: 2

Coefficient c: 3

Inéquation: ≤

Aucune Racine Réelle

quadratic-inequality

Une inéquation où la parabole ne croise pas l'axe des x.

Coefficient a: 2

Coefficient b: 3

Coefficient c: 4

Inéquation: <

Sommet sur l'Axe X

quadratic-inequality

Un carré parfait quadratique où le sommet est la seule racine.

Coefficient a: 1

Coefficient b: -6

Coefficient c: 9

Inéquation: ≥

Autres titres
Comprendre le Tracé des Inéquations Quadratiques : Un Guide Complet
Apprenez comment tracer les inéquations quadratiques, interpréter les résultats et comprendre leurs applications dans divers domaines.

Que sont les Inéquations Quadratiques ? Concepts Fondamentaux

  • Comprendre la Parabole
  • Le Rôle du Signe d'Inéquation
  • Lignes Pleines vs Pointillées et Régions Ombrées
Une inéquation quadratique est une déclaration mathématique qui relie une expression quadratique à une valeur en utilisant un symbole d'inéquation tel que >, <, ≥, ou ≤. Lorsqu'elle est tracée sur un plan cartésien bidimensionnel, elle implique une parabole, qui est la forme caractéristique en U d'une fonction quadratique.
La Parabole : y = ax² + bx + c
Le cœur de l'inéquation est la fonction quadratique y = ax² + bx + c. Le coefficient 'a' détermine la direction dans laquelle la parabole s'ouvre : vers le haut si 'a' est positif, et vers le bas si 'a' est négatif. Le sommet est le point minimum (si elle s'ouvre vers le haut) ou maximum (si elle s'ouvre vers le bas) de la parabole.
Interpréter l'Inéquation
Le signe d'inéquation détermine quelle partie du plan constitue l'ensemble de solutions. Pour les inéquations impliquant y > ... ou y ≥ ..., la région de solution est au-dessus de la parabole. Pour y < ... ou y ≤ ..., la solution est en-dessous de la parabole. La ligne de la parabole elle-même est pleine pour ≥ et ≤ (indiquant que les points sur la ligne sont inclus dans la solution) et pointillée pour > et < (indiquant que les points sur la ligne ne sont pas inclus).

Concepts Clés Illustrés

  • y > x² - 1 : Une parabole pointillée s'ouvrant vers le haut, avec la région *au-dessus* de la courbe ombrée.
  • y ≤ -x² + 4 : Une parabole pleine s'ouvrant vers le bas, avec la région *en-dessous* de la courbe ombrée.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

  • Entrer les Coefficients
  • Sélectionner le Type d'Inéquation
  • Interpréter la Section Résultats
Notre calculateur simplifie le processus de tracé des inéquations quadratiques en quelques étapes faciles. Suivez ce guide pour obtenir des résultats précis rapidement.
Saisir Votre Inéquation
1. Coefficient 'a' : Entrez le coefficient du terme x². Rappelez-vous, cette valeur ne peut pas être zéro.
2. Coefficient 'b' : Entrez le coefficient du terme x.
3. Coefficient 'c' : Entrez le terme constant.
4. Inéquation : Choisissez le bon symbole (>, <, ≥, ou ≤) dans le menu déroulant pour définir la relation.
Analyser la Sortie
Après avoir cliqué sur 'Tracer l'Inéquation', le calculateur fournit une analyse complète :
  • Sommet, Racines, Foyer : Ce sont les propriétés géométriques clés de la parabole.
  • Description du Graphique : Cette phrase résume la représentation visuelle de l'inéquation, incluant le style de ligne de la parabole (pleine/pointillée) et la région de solution ombrée (au-dessus/en-dessous).

Parcours Pratique

  • Pour y ≥ 2x² - 3x + 1, entrez a=2, b=-3, c=1 et sélectionnez '≥'.
  • Le calculateur montrera qu'elle s'ouvre vers le haut, a une ligne pleine et est ombrée au-dessus.

Applications Réelles des Inéquations Quadratiques

  • Physique et Ingénierie
  • Commerce et Économie
  • Problèmes d'Optimisation
Les inéquations quadratiques ne sont pas seulement des concepts mathématiques abstraits ; elles ont des applications pratiques dans divers domaines.
Mouvement de Projectile
En physique, la hauteur d'un projectile au fil du temps peut être modélisée par une fonction quadratique. Une inéquation peut être utilisée pour déterminer les intervalles de temps pendant lesquels l'objet est au-dessus d'une certaine hauteur. Par exemple, trouver quand une balle lancée en l'air est à au moins 10 pieds du sol.
Maximisation du Profit
En économie, les fonctions de revenus et de coûts sont souvent quadratiques. Une entreprise pourrait utiliser une inéquation quadratique pour déterminer la gamme de niveaux de production ou de prix qui garantira un profit au-dessus d'un certain seuil.
Conception et Architecture
Les architectes concevant des structures avec des arches paraboliques, comme des ponts ou des plafonds, pourraient utiliser des inéquations pour s'assurer que les dimensions répondent à certaines contraintes, telles qu'être en-dessous d'une hauteur maximale ou enfermer une zone minimale.

Exemples d'Applications

  • Trouver quand l'altitude d'une fusée, h(t) = -16t² + 100t, est supérieure à 50 pieds.
  • Déterminer la gamme de prix pour un produit pour s'assurer que le profit P(x) = -5x² + 200x - 1000 est d'au moins 500 $.

Dérivations Mathématiques et Formules

  • Trouver le Sommet
  • La Formule Quadratique pour les Racines
  • Calculer le Foyer et la Directrice
Les résultats fournis par le calculateur sont basés sur des formules fondamentales de l'algèbre et de la géométrie.
Formule du Sommet
Le sommet d'une parabole y = ax² + bx + c est un point (h, k). La coordonnée x, h, est trouvée en utilisant la formule h = -b / (2a). La coordonnée y, k, est trouvée en substituant h dans l'équation quadratique : k = a(h)² + b(h) + c.
Formule Quadratique
Les racines (intersections x) sont les points où la parabole croise l'axe des x (où y=0). Elles sont calculées en utilisant la formule quadratique : x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a). Le terme à l'intérieur de la racine carrée, b² - 4ac, est appelé le discriminant. S'il est positif, il y a deux racines distinctes. S'il est zéro, il y a une racine (le sommet est sur l'axe des x). S'il est négatif, il n'y a pas de racines réelles.
Foyer et Directrice
Pour une parabole, le foyer est un point et la directrice est une ligne. Chaque point sur la parabole est équidistant du foyer et de la directrice. Si le sommet est (h, k), le foyer est (h, k + p) et la directrice est y = k - p, où p = 1 / (4a).

Formules Fondamentales

  • Pour y = 2x² - 8x + 6 : Sommet x = -(-8)/(2*2) = 2. Sommet y = 2(2)² - 8(2) + 6 = -2. Donc, le Sommet est (2, -2).
  • Racines : x = [8 ± sqrt((-8)² - 4*2*6)] / (2*2) = [8 ± sqrt(16)] / 4 = (8 ± 4)/4. Les racines sont x=3 et x=1.

Idées Fausses Communes et Interprétation Correcte

  • Inéquation vs Équation
  • La Signification de l'Ombrage
  • Erreurs de Ligne de Frontière
Comprendre les inéquations quadratiques nécessite d'éviter les pièges communs liés à leur interprétation.
Une Solution est une Région, Pas un Nombre
Une erreur commune est de penser que la solution est un seul nombre ou une paire de nombres. Bien que résoudre une équation quadratique donne des valeurs x spécifiques (les racines), résoudre une inéquation quadratique sur un plan 2D donne une région entière de paires de coordonnées (x, y).
Lignes Pointillées vs Pleines
Oublier de distinguer entre les inéquations strictes (<, >) et non strictes (≤, ≥) est une autre erreur. Une ligne pointillée signifie que la parabole elle-même est une frontière et ne fait pas partie de la solution. Une ligne pleine signifie que les points sur la parabole sont inclus dans l'ensemble de solutions.
Ombrer le Mauvais Côté
Il est facile de se confondre sur s'il faut ombrer au-dessus ou en-dessous de la parabole. Une astuce simple est de tester un point, comme (0,0). Si en remplaçant x=0, y=0 dans l'inéquation donne une déclaration vraie, alors la région contenant l'origine est la solution. Sinon, l'autre côté est la solution. Le calculateur automatise cela, mais c'est un concept utile pour le tracé manuel.

Points à Retenir

  • Pour y > x² : Testez (0,1). Est-ce que 1 > 0² ? Oui. Donc ombrez la région contenant (0,1), qui est *à l'intérieur* de la parabole s'ouvrant vers le haut (c'est-à-dire au-dessus).
  • Pour y < x² - 1 : Testez (0,0). Est-ce que 0 < 0² - 1 ? Non, 0 n'est pas inférieur à -1. Donc ombrez la région qui ne contient *pas* l'origine, qui est *à l'extérieur* de la parabole (c'est-à-dire en-dessous).