Calculateur du Cercle de Mohr

Analyse et Transformation des Contraintes

Calculez les contraintes principales, la contrainte de cisaillement maximale et la transformation des contraintes en utilisant la méthode du Cercle de Mohr. Entrez les composantes de contrainte pour analyser l'état de contrainte en tout point.

États de Contrainte Exemples

Configurations de contraintes communes pour l'analyse

Traction Simple

Traction Uniaxiale

Une barre sous chargement de traction uniaxial

σx: 150 MPa

σy: 0 MPa

τxy: 0 MPa

État de Cisaillement Pur

Cisaillement Pur

Un matériau sous chargement de cisaillement pur

σx: 0 MPa

σy: 0 MPa

τxy: 40 MPa

Contrainte Biaxiale

Chargement Biaxial

Plaque sous conditions de chargement biaxial

σx: 120 MPa

σy: 80 MPa

τxy: 25 MPa

État de Contrainte Complexe

État Complexe

Contraintes normales et de cisaillement combinées

σx: 90 MPa

σy: -30 MPa

τxy: 60 MPa

Autres titres
Comprendre le Cercle de Mohr : Un Guide Complet
Maîtrisez l'analyse et la transformation des contraintes en utilisant la méthode du Cercle de Mohr

Qu'est-ce que le Cercle de Mohr ?

  • Définition et Objectif
  • Représentation Graphique
  • Contexte Historique
Le Cercle de Mohr est une méthode graphique pour analyser les états de contrainte dans les matériaux, développée par l'ingénieur civil allemand Christian Otto Mohr en 1882. Il fournit une représentation visuelle de la transformation des contraintes et permet aux ingénieurs de déterminer les contraintes principales, la contrainte de cisaillement maximale et les composantes de contrainte sur n'importe quel plan.
Concepts Clés
Le cercle représente toutes les combinaisons possibles de contrainte normale et de cisaillement qui peuvent exister sur des plans d'orientations différentes. Le centre du cercle représente la contrainte normale moyenne, tandis que le rayon représente la contrainte de cisaillement maximale.
Le Cercle de Mohr est particulièrement utile car il élimine le besoin de calculs trigonométriques complexes et fournit un aperçu visuel immédiat de l'état de contrainte.

Propriétés du Cercle

  • Un point sur le cercle représente l'état de contrainte sur un plan spécifique
  • Le diamètre du cercle représente la plage des contraintes normales
  • Le rayon représente l'amplitude de la contrainte de cisaillement maximale

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur du Cercle de Mohr

  • Exigences d'Entrée
  • Processus de Calcul
  • Interprétation des Résultats
Pour utiliser efficacement le calculateur du Cercle de Mohr, vous devez comprendre les paramètres d'entrée et comment ils se rapportent à l'état de contrainte physique de votre matériau.
Paramètres d'Entrée
σx (Contrainte Normale dans la Direction X) : La contrainte normale agissant perpendiculairement au plan x. Les valeurs positives indiquent une traction, les valeurs négatives indiquent une compression.
σy (Contrainte Normale dans la Direction Y) : La contrainte normale agissant perpendiculairement au plan y. Celle-ci est typiquement perpendiculaire à σx.
τxy (Contrainte de Cisaillement) : La contrainte de cisaillement agissant sur le plan. Cela représente la force tangentielle par unité de surface.
Étapes de Calcul
1. Calculez la contrainte normale moyenne : σₐᵥₑ = (σx + σy) / 2
2. Calculez le rayon : R = √[(σx - σy)²/4 + τxy²]
3. Déterminez les contraintes principales : σ₁ = σₐᵥₑ + R, σ₂ = σₐᵥₑ - R
4. Calculez la contrainte de cisaillement maximale : τₘₐₓ = R
5. Trouvez l'angle principal : θₚ = 0,5 × arctan(2τxy/(σx - σy))

Calcul d'Exemple

  • Pour σx = 100 MPa, σy = 50 MPa, τxy = 30 MPa
  • σₐᵥₑ = (100 + 50) / 2 = 75 MPa
  • R = √[(100 - 50)²/4 + 30²] = √[625 + 900] = 39,05 MPa

Applications Réelles du Cercle de Mohr

  • Ingénierie Structurelle
  • Science des Matériaux
  • Analyse de Rupture
L'analyse du Cercle de Mohr est fondamentale dans diverses disciplines d'ingénierie et est utilisée extensivement dans la conception et l'analyse de rupture.
Ingénierie Structurelle
En ingénierie structurelle, le Cercle de Mohr est utilisé pour analyser les états de contrainte dans les poutres, colonnes et autres éléments structurels. Les ingénieurs l'utilisent pour déterminer si une structure va se rompre sous des conditions de chargement données et pour optimiser l'utilisation des matériaux.
Science des Matériaux
Les scientifiques des matériaux utilisent le Cercle de Mohr pour comprendre comment les matériaux répondent à différents états de contrainte. Ceci est crucial pour développer de nouveaux matériaux et comprendre les mécanismes de rupture.
Ingénierie Géotechnique
En mécanique des sols, le Cercle de Mohr est utilisé pour analyser les états de contrainte du sol et prédire la rupture du sol. Ceci est essentiel pour la conception de fondations et l'analyse de stabilité des pentes.
La méthode est également utilisée en mécanique des roches, biomécanique et dans de nombreux autres domaines où l'analyse des contraintes est importante.

Applications Communes

  • Conception et analyse de ponts
  • Conception de récipients sous pression
  • Analyse de fondations de sol
  • Conception d'implants biomécaniques

Idées Fausses Communes et Méthodes Correctes

  • Conventions de Signe
  • Mesures d'Angle
  • Interprétation des Contraintes
Plusieurs idées fausses communes peuvent mener à des erreurs dans l'analyse du Cercle de Mohr. Comprendre celles-ci aide à assurer des calculs précis.
Conventions de Signe
Une erreur commune est la confusion concernant les conventions de signe. Dans le Cercle de Mohr, les contraintes de traction sont positives et les contraintes de compression sont négatives. Les contraintes de cisaillement sont positives quand elles tendent à faire tourner l'élément dans le sens horaire.
Mesures d'Angle
L'angle principal θₚ est mesuré depuis l'axe x vers la direction de la contrainte principale maximale. Cet angle représente l'orientation des plans principaux où la contrainte de cisaillement est nulle.
Interprétation des Contraintes
Il est important de se rappeler que les contraintes calculées sont les contraintes normales maximales et minimales, pas nécessairement les contraintes maximales et minimales globales. La contrainte de cisaillement maximale se produit sur des plans orientés à 45° des plans principaux.
Une autre erreur commune est de négliger la nature tridimensionnelle de la contrainte. L'analyse du Cercle de Mohr est typiquement faite en 2D, mais les états de contrainte réels sont 3D.

Règles Clés

  • Contrainte de traction : convention de signe positive
  • Contrainte de compression : convention de signe négative
  • Cisaillement horaire : convention positive
  • Plans principaux : contrainte de cisaillement nulle

Dérivation Mathématique et Exemples

  • Équations de Transformation des Contraintes
  • Construction du Cercle
  • Applications Avancées
La fondation mathématique du Cercle de Mohr vient des équations de transformation des contraintes. Comprendre ces équations aide à vérifier la méthode graphique.
Équations de Transformation des Contraintes
Pour un plan orienté à un angle θ depuis l'axe x, les contraintes transformées sont :
σθ = (σx + σy)/2 + (σx - σy)/2 × cos(2θ) + τxy × sin(2θ)
τθ = -(σx - σy)/2 × sin(2θ) + τxy × cos(2θ)
Construction du Cercle
Le cercle est construit en traçant les points (σθ, τθ) pour toutes les valeurs de θ. Le centre est à (σₐᵥₑ, 0) et le rayon est R = √[(σx - σy)²/4 + τxy²].
Contraintes Principales
Les contraintes principales se produisent quand τθ = 0. Ceci nous donne l'équation pour l'angle principal : tan(2θₚ) = 2τxy/(σx - σy).
Les contraintes principales sont alors : σ₁ = σₐᵥₑ + R et σ₂ = σₐᵥₑ - R.

Formules Clés

  • σₐᵥₑ = (σx + σy) / 2
  • R = √[(σx - σy)²/4 + τxy²]
  • σ₁ = σₐᵥₑ + R
  • σ₂ = σₐᵥₑ - R